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<!DOCTYPE html>

<title>Euler-Kreisel</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Euler-Kreisel</h1>

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Der kräftefreie Kreisel ist in der <a href="Kreiseltheorie" title="Kreiseltheorie">Kreiseltheorie</a> ein <a href="Kreisel" title="Kreisel">Kreisel</a>, auf den keine äußeren Kräfte wirken. Die <a href="Bewegungsgleichung" title="Bewegungsgleichung">Bewegungsgleichungen</a> konnte erstmals <a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> 1758 lösen<a href="#cite_note-1">[1]</a>, zu dessen Ehren der Kreisel auch Euler-Kreisel genannt wird.

Die bestimmenden Gleichungen sind die <a href="Euler-Poisson-Gleichungen" title="Euler-Poisson-Gleichungen">Euler-Poisson-Gleichungen</a>, deren Lösungen nur hier, beim <a href="Lagrange-Kreisel" title="Lagrange-Kreisel">Lagrange-Kreisel</a> und dem <a href="Kowalewskaja-Kreisel" title="Kowalewskaja-Kreisel">Kowalewskaja-Kreisel</a> bei beliebigen Anfangsbedingungen eindeutige Funktionen der Zeit und mit algebraischen Integralen ableitbar sind.<a href="#cite_note-2">[2]</a>

Die <a href="Winkelgeschwindigkeit" title="Winkelgeschwindigkeit">Winkelgeschwindigkeiten</a> lassen sich mit den <a href="Jacobische_elliptische_Funktion" class="mw-redirect" title="Jacobische elliptische Funktion">Jacobi'schen elliptischen Funktionen</a> ausdrücken, die beim <a href="Symmetrischer_Kreisel" title="Symmetrischer Kreisel">symmetrischen Kreisel</a> in den <a href="Sinus_und_Kosinus" title="Sinus und Kosinus">Sinus und Kosinus</a> übergehen. Hier zeigt der Kreisel besonders regelmäßiges und anschauliches Verhalten, siehe <a href="#Beschreibung_der_Bewegung">#Beschreibung der Bewegung</a>. Die <a href="Poinsotsche_Konstruktion" title="Poinsotsche Konstruktion">Poinsotsche Konstruktion</a> führt die Bewegung auf das Abrollen des <a href="Energieellipsoid" class="mw-redirect" title="Energieellipsoid">Energieellipsoids</a> auf einer Ebene zurück.

Außer in der <a href="Schwerelosigkeit" title="Schwerelosigkeit">Schwerelosigkeit</a> kann ein kräftefreier Kreisel in einem Schwerefeld realisiert werden, indem er in seinem Schwerpunkt drehbar, beispielsweise wie in Abb. 1 <a href="Kardanische_Aufh%C3%A4ngung" title="Kardanische Aufhängung">kardanisch</a> aufgehängt wird. Der eulersche Kreisel findet z. B. in <a href="Kreiselkompass" title="Kreiselkompass">Kreiselkompassen</a> und <a href="Gyroskop" class="mw-redirect" title="Gyroskop">gyroskopischen</a> Steuersystemen technische Anwendung.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bezeichnungen">Bezeichnungen</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Kreisel" title="Kreisel">Kreisel</a> und <a href="Kreiseltheorie" title="Kreiseltheorie">Kreiseltheorie</a></div>

Die Bewegungen des kräftefreien Kreisels heißen in der Kreiseltechnik <a href="Nutation_(Physik)" title="Nutation (Physik)">Nutation</a><a href="#cite_note-3">[3]</a>. Die <a href="Azimut" title="Azimut">azimutale</a> Drehung wird auch Präzession genannt<a href="#cite_note-4">[4]</a>. Weitere Bezeichnungen sind in den Hauptartikeln aufgeführt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Allgemeine_Eigenschaften_der_Bewegung_kräftefreier_Kreisel">Allgemeine Eigenschaften der Bewegung kräftefreier Kreisel</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kreiselgleichungen">Kreiselgleichungen</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Eulersche_Gleichungen_(Kreiseltheorie)" title="Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)">Euler’sche Kreiselgleichungen</a> und <a href="Euler-Poisson-Gleichungen" title="Euler-Poisson-Gleichungen">Euler-Poisson-Gleichungen</a></div>

Die Bewegungsfunktion des Kreisels bestimmt sich mit den von Leonhard Euler aufgestellten Kreiselgleichungen, die, wenn der Massenmittelpunkt im Stützpunkt liegt, inhaltsgleich zu den Euler-Poisson-Gleichungen für den <a href="Schwerer_Kreisel" title="Schwerer Kreisel">schweren Kreisel</a> sind. Die Gleichungen beziehen sich auf das mit dem Körper rotierende Hauptachsensystem und bilden das <a href="Autonome_Differentialgleichung" title="Autonome Differentialgleichung">autonome</a> <a href="Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung" title="Gewöhnliche Differentialgleichung">gewöhnliche Differentialgleichungs</a>system

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4216e4c3bfd3761fbf653b2cb1f6c0516114d7d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -13.505ex; width:27.887ex; height:28.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{1}{\dot {\omega }}_{1}=&(\Theta _{2}-\Theta _{3})\omega _{2}\omega _{3}\\\Theta _{2}{\dot {\omega }}_{2}=&(\Theta _{3}-\Theta _{1})\omega _{3}\omega _{1}\\\Theta _{3}{\dot {\omega }}_{3}=&(\Theta _{1}-\Theta _{2})\omega _{1}\omega _{2}\\{\dot {L}}_{1}=&\left({\frac {1}{\Theta _{3}}}-{\frac {1}{\Theta _{2}}}\right)L_{2}L_{3}\\{\dot {L}}_{2}=&\left({\frac {1}{\Theta _{1}}}-{\frac {1}{\Theta _{3}}}\right)L_{3}L_{1}\\{\dot {L}}_{3}=&\left({\frac {1}{\Theta _{2}}}-{\frac {1}{\Theta _{1}}}\right)L_{1}L_{2}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin sind jeweils für k=1,2,3

<dl><dd>Θk die <a href="Haupttr%C3%A4gheitsmoment" class="mw-redirect" title="Hauptträgheitsmoment">Hauptträgheitsmomente</a>,</dd>

<dd>Lk = Θkωk die <a href="Drehimpuls" title="Drehimpuls">Drehimpulse</a> und</dd>

<dd>ωk die <a href="Winkelgeschwindigkeit" title="Winkelgeschwindigkeit">Winkelgeschwindigkeiten</a></dd></dl>

im Hauptachsensystem. Der <a href="%C3%9Cberpunkt#Als_wissenschaftliches_Symbol" title="Überpunkt">Überpunkt</a> bildet die <a href="Zeitableitung" title="Zeitableitung">Zeitableitung</a>.

Auf der linken Seite steht die <a href="Kreiselwirkung" class="mw-redirect" title="Kreiselwirkung">Kreiselwirkung</a> der <a href="Euler-Kraft" class="mw-redirect" title="Euler-Kraft">Euler-Kräfte</a> und auf der rechten Seite diejenige der <a href="Fliehkr%C3%A4fte" class="mw-redirect" title="Fliehkräfte">Fliehkräfte</a>, siehe <a href="Drallsatz#Drallsatz_am_starren_Körper" title="Drallsatz">Drallsatz am Starren Körper</a>. Die Euler-Kräfte sind Ausdruck von Winkelbeschleunigungen, die hier von den Fliehkräften im Kreisel hervor gerufen werden. Umgekehrt führen die Winkelbeschleunigungen zur Änderung der Drehachse und Drehgeschwindigkeit, was die Fliehkräfte beeinflusst. Folge dieses dynamischen Wechselspiels ist die Nutation des kräftefreien Kreisels.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Integrale_der_Bewegung">Integrale der Bewegung</h3></div>

Die Drehbewegung eines kräftefreien Kreisels unterliegt neben den Kreiselgleichungen noch zwei Bedingungen.

Zum einen erzwingt die <a href="Drehimpulserhaltung" class="mw-redirect" title="Drehimpulserhaltung">Drehimpulserhaltung</a> im raumfesten xyz-System, dass alle drei Drehimpulskomponenten von

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im kräftefreien Fall konstant sind. Als zweite Bedingung bleibt die <a href="Rotationsenergie" title="Rotationsenergie">Rotationsenergie</a> Erot gemäß dem <a href="Energieerhaltungssatz" title="Energieerhaltungssatz">Energieerhaltungssatz</a> erhalten.

Im lokalen körperfesten Hauptachsensystem heißt das:

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Die Erhaltung von Lx,y,z, L² und Erot ist im Einklang mit obigen Kreiselgleichungen, was durch Zeitableitung der Konstanten und Einsetzen der Kreiselgleichungen und der <a href="Kreiseltheorie#Bezugssysteme_und_Euler-Winkel" title="Kreiseltheorie">Euler-Winkel der Kreiseltheorie</a> nachgewiesen werden kann. Die Konstanten der Bewegung werden in der <a href="Kreiseltheorie" title="Kreiseltheorie">Kreiseltheorie</a> Integrale genannt.<a href="#cite_note-5">[5]</a>

Obige Gleichungen definieren <a href="Ellipsoid" title="Ellipsoid">Ellipsoide</a>. Die mit den Winkelgeschwindigkeiten ausgedrückten Gleichungsteile stellen in der oberen Gleichung das <a href="Tr%C3%A4gheitsellipsoid#Drallellipsoid" title="Trägheitsellipsoid">Drallellipsoid</a> und in der unteren das <a href="Energieellipsoid" class="mw-redirect" title="Energieellipsoid">Energieellipsoid</a> dar. Die mit dem Drehimpuls ausgedrückten Flächen sind in der oberen Gleichung die Drallkugel und in der unteren das <a href="MacCullagh-Ellipsoid" class="mw-redirect" title="MacCullagh-Ellipsoid">MacCullagh-Ellipsoid</a>. Die Winkelgeschwindigkeiten und Drehimpulse sind jeweils Teil beider Flächen.

Die Drallkugel und das MacCullagh-Ellipsoid haben nur dann gemeinsame Punkte, wenn die <a href="Kreiseltheorie#Drehimpuls_und_Drehträgheit" title="Kreiseltheorie">Schranken für Drehimpuls und Rotationsenergie</a> eingehalten werden<a href="#cite_note-6">[6]</a>. Multiplikation von 2Erot mit -L² und L² mit 2Erot und Addition liefert:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2E_{\mathrm {rot} }\Theta _{1}-L^{2})\Theta _{1}\omega _{1}^{2}+(2E_{\mathrm {rot} }\Theta _{2}-L^{2})\Theta _{2}\omega _{2}^{2}+(2E_{\mathrm {rot} }\Theta _{3}-L^{2})\Theta _{3}\omega _{3}^{2}=0}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c223545fb9e527b3ce5f5bbc375fb98894a32cdd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:72.125ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle (2E_{\mathrm {rot} }\Theta _{1}-L^{2})\Theta _{1}\omega _{1}^{2}+(2E_{\mathrm {rot} }\Theta _{2}-L^{2})\Theta _{2}\omega _{2}^{2}+(2E_{\mathrm {rot} }\Theta _{3}-L^{2})\Theta _{3}\omega _{3}^{2}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Gleichung für den <a href="Spurkegel_und_Polkegel" title="Spurkegel und Polkegel">Polkegel</a>, der aus den Punkten besteht, für die <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X/\omega _{1}=Y/\omega _{2}=Z/\omega _{3}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X/\omega _{1}=Y/\omega _{2}=Z/\omega _{3}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3e13bf88e6ca9c14ca246a2d2b0d3d185d30f36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.618ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle X/\omega _{1}=Y/\omega _{2}=Z/\omega _{3}}" loading="lazy"> ist, ergibt sich hieraus zu<a href="#cite_note-7">[7]</a>:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2E_{\mathrm {rot} }\Theta _{1}-L^{2})\Theta _{1}X^{2}+(2E_{\mathrm {rot} }\Theta _{2}-L^{2})\Theta _{2}Y^{2}+(2E_{\mathrm {rot} }\Theta _{3}-L^{2})\Theta _{3}Z^{2}=0}</annotation>

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Beim <a href="Unsymmetrischer_Kreisel" title="Unsymmetrischer Kreisel">unsymmetrischen</a> Euler-Kreisel stellt das einen <a href="Schiefer_Ellipsenkegel" title="Schiefer Ellipsenkegel">Ellipsenkegel</a> und beim symmetrischen einen <a href="Kreiskegel" class="mw-redirect" title="Kreiskegel">Kreiskegel</a> dar, siehe <a href="#Beschreibung_der_Bewegung">#Beschreibung der Bewegung</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="MacCullaghs_Deutung_der_Kreiselbewegung">MacCullaghs Deutung der Kreiselbewegung</h3></div>

Von <a href="James_MacCullagh" title="James MacCullagh">James MacCullagh</a> stammt eine geometrische Deutung der Kreiselbewegung, die wie die <a href="Poinsotsche_Konstruktion" title="Poinsotsche Konstruktion">Poinsot’sche Konstruktion</a> anschaulich aber nicht so fruchtbar ist wie letztere<a href="#cite_note-8">[8]</a>. Der Drehimpuls ist im raumfesten System konstant, bildet die invariable Gerade durch den Stützpunkt und berührt jederzeit das <a href="MacCullagh-Ellipsoid" class="mw-redirect" title="MacCullagh-Ellipsoid">MacCullagh-Ellipsoid</a>, das im körperfesten System aus den Endpunkten aller Drehimpulse besteht, die zur aktuellen Rotationsenergie führen, siehe Abb. 3. Das MacCullagh-Ellipsoid bewegt sich mit dem Kreisel derart, dass der Drehimpuls gleichzeitig auf dem Ellipsoid und der Drallkugel ist, wobei die rot gezeichneten Drallpolkurven entstehen. Die Punkte auf den Drallpolkurven haben somit alle denselben Abstand zum Stützpunkt. Das <a href="Lot_(Mathematik)" title="Lot (Mathematik)">Lot</a> des Stützpunkts auf die <a href="Tangentialebene" title="Tangentialebene">Tangentialebene</a> an das MacCullagh-Ellipsoid im Endpunkt des Drehimpulses ist parallel zur aktuellen Winkelgeschwindigkeit. Besagte Tangentialebene ist, anders als die invariable Ebene der Poinsot’schen Konstruktion, nicht raumfest.

Das <a href="Kreuzprodukt" title="Kreuzprodukt">Kreuzprodukt</a> aus Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\vec {\omega }}\times {\vec {L}})}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\vec {\omega }}\times {\vec {L}})}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d2157de31b5b3d1a1e42c0e9ac1ca92fbfe0b9cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.678ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle ({\vec {\omega }}\times {\vec {L}})}" loading="lazy"> ist umgekehrt gleich der <a href="Kreiselwirkung" class="mw-redirect" title="Kreiselwirkung">Kreiselwirkung</a> der Fliehkräfte, der genau entgegengesetzt die Kreiselwirkung der <a href="Euler-Kraft" class="mw-redirect" title="Euler-Kraft">Euler-Kräfte</a> ist, die Ausdruck von Änderungen der Drehgeschwindigkeit und -achse, also der Ausrichtung des MacCullagh-Ellipsoids, sind, siehe auch <a href="#Kreiselgleichungen">#Kreiselgleichungen</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Stabilitätsbetrachtungen">Stabilitätsbetrachtungen</h3></div>

In Abb. 4 ist die Drallkugel und zu verschiedenen Rotationsenergien gehörende Drallpolkurven aus drei Richtungen gesehen gezeichnet. Die Drallpolkurven sind geschlossene Kurven (rot und blau im Bild), die <a href="Kreis" title="Kreis">Kreis</a>-, <a href="Ellipse" title="Ellipse">Ellipsen</a>- oder <a href="Taco" title="Taco">Taco</a>-förmig sein können und wie das <a href="MacCullagh-Ellipsoid" class="mw-redirect" title="MacCullagh-Ellipsoid">MacCullagh-Ellipsoid</a> symmetrisch zu den von den <a href="Haupttr%C3%A4gheitsachse" title="Hauptträgheitsachse">Hauptachsen</a> aufgespannten Ebenen sind. Auf den blauen Kurven finden perizykloidische Bewegungen statt während auf den roten Kurven die Bewegung epizykloidisch genannt wird, siehe <a href="Poinsotsche_Konstruktion" title="Poinsotsche Konstruktion">Poinsot’sche Konstruktion</a>. Dazwischen befindet sich die <a href="Separatrix" class="mw-redirect" title="Separatrix">Separatrix</a>, die diese beiden Bewegungsformen voneinander trennt.

Liegt der Drehimpuls in der Nähe der Hauptträgheitsachse mit dem größten oder dem kleinsten Trägheitsmoment (blaue bzw. rote Punkte in Abb. 4), dann verbleibt er auch in dessen Nähe, denn diese Punkte werden von den Drallpolkurven umringt. Deshalb sind diese Drehachsen stabile Drehachsen freier Drehungen. Ihre Schnittpunkte mit der Drallkugel sind elliptische Fixpunkte einer <a href="Autonome_Differentialgleichung#Qualitative_Theorie_der_Fixpunkte_der_Differentialgleichung" title="Autonome Differentialgleichung">autonomen Differentialgleichung</a>.

Aus den Achsverhältnissen der Ellipsen kann ein Maß für die Stabilität der Drehachsen abgeleitet werden, siehe <a href="Poinsotsche_Konstruktion#Stabilitätsbetrachtungen" title="Poinsotsche Konstruktion">Stabilitätsbetrachtungen</a> bei der Poinsot’schen Konstruktion.

Liegt der Drehimpuls genau auf der 2-Achse (schwarzer Punkt), dann verbleibt er dort, andernfalls entfernt er sich vom Schnittpunkt, denn dieser wird nicht von den Drallpolkurven umkreist. Die 2-Achse ist eine instabile Drehachse, sie trifft das MacCullagh-Ellipsoid in einem hyperbolischen Fixpunkt oder Sattelpunkt der zugehörigen autonomen Differentialgleichung (siehe auch <a href="#Stabilität_der_Bewegung_unsymmetrischer_Kreisel">#Stabilität der Bewegung unsymmetrischer Kreisel</a> weiter unten). Die Bewegung auf der Separatrix ist instabil, denn bei der kleinsten Störung wird die Bahn epi- oder perizykloidisch.

Wenn die <a href="Haupttr%C3%A4gheitsmoment" class="mw-redirect" title="Hauptträgheitsmoment">Hauptträgheitsmomente</a> Θ1,2 übereinstimmen, womit der Kreisel ein <a href="Symmetrischer_Kreisel" title="Symmetrischer Kreisel">symmetrischer Kreisel</a> wird, dann ist das MacCullagh-Ellipsoid ein <a href="Rotationsellipsoid" title="Rotationsellipsoid">Rotationsellipsoid</a> um die 3-Achse, die Separatrix wird zu einem <a href="Gro%C3%9Fkreis" title="Großkreis">Großkreis</a> in der 1-2-Ebene und die Drallpolkurven sind <a href="Kleinkreis" title="Kleinkreis">Kleinkreise</a> parallel zu dieser. Die Drehung um die <a href="Figurenachse" title="Figurenachse">Figurenachse</a> (Symmetrieachse 3) ist jedenfalls stabil, denn die Drallpolkurven umringen als Kleinkreise diese Achse. Die zur Figurenachse senkrechten, äquatorialen Hauptachsen weisen komplexes Stabilitätsverhalten auf:

<ul><li>Bezüglich der Winkelgeschwindigkeiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{3},\,{\dot {\psi }},\,{\dot {\varphi }}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{3},\,{\dot {\psi }},\,{\dot {\varphi }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bad305d93cad2dc44c193d0293e3e3d222e4290c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.473ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \omega _{3},\,{\dot {\psi }},\,{\dot {\varphi }}}" loading="lazy"> und des Neigungswinkels ϑ sind Drehungen um eine äquatoriale Achse stabil,</li>

<li>Bezüglich der Winkel ψ und φ und den Winkelgeschwindigkeiten ω1,2 sind Drehungen um eine äquatoriale Achse instabil.</li></ul>

Denn bei Störung der Drehung um die 1-Achse mittels einer kleinen Winkelgeschwindigkeit um die 3-Achse wird die Drallpolkurve zu einem Kleinkreis um die 3-Achse und die Drehachse umläuft parallel zur 1-2-Ebene die Figurenachse. Sie bleibt also nicht in der Nähe der 1-Achse was Instabilität von ω1 bezüglich Störung von ω3 bedeutet. Eine kleine Störung der axialen Winkelgeschwindigkeit ω3 oder des Neigungswinkels ϑ führt jedoch zu einer klein bleibenden Veränderung. In gleicher Weise werden die anderen Größen auf Stabilität gegenüber Störungen untersucht<a href="#cite_note-9">[9]</a>.

Zur Stabilität des <a href="Kugelkreisel" title="Kugelkreisel">Kugelkreisels</a>, siehe dort.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Die_Bewegungen_des_Drehimpulses_im_lokalen_Bezugssystem">Die Bewegungen des Drehimpulses im lokalen Bezugssystem</h3></div>

Der Drehimpuls durchwandert die in <a href="#MacCullaghs_Deutung_der_Kreiselbewegung">Abb. 3</a> und <a href="#Stabilitätsbetrachtungen">Abb. 4</a> gezeichneten Drallpolkurven ohne jemals stillzustehen oder gar die Umlaufrichtung zu wechseln. Denn abseits der Hauptträgheitsachsen verschwindet höchstens eine Komponente des Drehimpulses und daher können die lokalen Geschwindigkeiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {L}}_{1,2,3}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {L}}_{1,2,3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f74e24a5409299dd5708cece672c476311cef535.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:5.196ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\dot {L}}_{1,2,3}}" loading="lazy"> den Kreiselgleichungen zufolge nicht alle drei auf einmal null sein.

Mangels äußerer Einwirkungen macht der kräfefreie Kreisel keine Sprünge. Die lokalen Komponenten des Drehimpulses sind somit <a href="Lipschitz-Stetigkeit" class="mw-redirect" title="Lipschitz-Stetigkeit">Lipschitz-stetig</a> und daher können sich die Trajektorien des Drehimpulses nach dem <a href="Satz_von_Picard-Lindel%C3%B6f" title="Satz von Picard-Lindelöf">Satz von Picard-Lindelöf</a> nicht schneiden. Diese Bedingung ist auf der Separatrix verletzt (in <a href="#Stabilitätsbetrachtungen">Abb. 4</a> schwarz gestrichelt). Auf ihr bildet sich daher eine aperiodische Bewegung aus, denn der Drehimpuls kann die Schnittpunkte auf der 2-Achse nicht überschreiten. Die Hauptträgheitsachse mit dem mittleren Hauptträgheitsmoment nähert sich auf einer <a href="Loxodrome" title="Loxodrome">Loxodrome</a> asymptotisch der vom Drehimpuls gegebenen Achse, siehe <a href="#Bewegung_auf_der_Separatrix">#Bewegung auf der Separatrix</a> unten.

Wenn die Rotationsenergie abnimmt, beispielsweise durch <a href="Dissipation" title="Dissipation">Dissipation</a>, wird die Drehachse in Richtung der Achse mit dem größten Trägheitsmoment wandern, was in <a href="#Stabilitätsbetrachtungen">Abb. 4</a> die 3-Achse ist, denn dort berührt das MacCullagh-Ellipsoid mit der kleinsten Energie die Drallkugel.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kräftefreier_symmetrischer_Kreisel">Kräftefreier symmetrischer Kreisel</h2></div>

Beim symmetrischen Kreisel sind <a href="Per_definitionem" class="mw-redirect" title="Per definitionem">per definitionem</a> zwei der drei Hauptträgheitsmomente gleich. Die Bewegung ist eine regelmäßige und anschauliche <a href="Regul%C3%A4re_Pr%C3%A4zession" title="Reguläre Präzession">Reguläre Präzession</a>. <a href="Ohne_Beschr%C3%A4nkung_der_Allgemeinheit" title="Ohne Beschränkung der Allgemeinheit">Ohne Beschränkung der Allgemeinheit</a> wird hier von Θ1=Θ2=:Θ0 und Drehung um die 3-Achse – der <a href="Figurenachse" title="Figurenachse">Figurenachse</a> – ausgegangen.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beschreibung_der_Bewegung">Beschreibung der Bewegung</h3></div>

Beim symmetrischen Kreisel vereinfacht sich die dritte Kreiselgleichung im kräftefreien Fall zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Theta _{3}\,{\dot {\omega }}_{3}=0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta _{3}\,{\dot {\omega }}_{3}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a86592df9e15fef422deb8949048c5b67289680a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.01ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Theta _{3}\,{\dot {\omega }}_{3}=0}" loading="lazy">, sodass die Winkelgeschwindigkeit ω3 und somit auch der Drehimpuls L3 konstant sind. Die zwei anderen Kreiselgleichungen bilden das lineare <a href="Gew%C3%B6hnliche_Differentialgleichung" title="Gewöhnliche Differentialgleichung">gewöhnliche Differentialgleichungssystem</a>

<mtr>

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</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\dot {\omega }}_{1}+\Omega \omega _{2}\\0=&{\dot {\omega }}_{2}-\Omega \omega _{1}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/819184858a362268bc45a1571df0253528fa0d4e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:13.886ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\dot {\omega }}_{1}+\Omega \omega _{2}\\0=&{\dot {\omega }}_{2}-\Omega \omega _{1}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit konstantem Koeffizient <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Omega :={\tfrac {\Theta _{3}-\Theta _{0}}{\Theta _{0}}}\omega _{3}}">

<mfrac>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Omega :={\tfrac {\Theta _{3}-\Theta _{0}}{\Theta _{0}}}\omega _{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/628929e10f6d453034a3fb4b600ee7beba5dc18e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:14.258ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle \Omega :={\tfrac {\Theta _{3}-\Theta _{0}}{\Theta _{0}}}\omega _{3}}" loading="lazy">. <a href="Zeitableitung" title="Zeitableitung">Zeitableitung</a> der Gleichungen führt auf zwei entkoppelte Differentialgleichungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ddot {\omega }}_{1,2}+\Omega ^{2}\omega _{1,2}=0}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {\omega }}_{1,2}+\Omega ^{2}\omega _{1,2}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ad8fd06ff687df608ee752b857783d953aec132.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.392ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {\omega }}_{1,2}+\Omega ^{2}\omega _{1,2}=0}" loading="lazy">, deren allgemeine Lösung wie folgt darstellbar ist:

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}\omega _{1}(t)\\\omega _{2}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\Omega \,t)&-\sin(\Omega \,t)\\\sin(\Omega \,t)&\cos(\Omega \,t)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}(0)\\\omega _{2}(0)\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9236a0ca87096e66438e75fe503cb42cdf51b217.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:46.15ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}\omega _{1}(t)\\\omega _{2}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\Omega \,t)&-\sin(\Omega \,t)\\\sin(\Omega \,t)&\cos(\Omega \,t)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}(0)\\\omega _{2}(0)\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Werte ω1,2(0) sind Anfangsbedingungen zur Zeit t = 0 und werden durch eine 2 × 2 <a href="Drehmatrix" title="Drehmatrix">Drehmatrix</a> auf die aktuellen Werte abgebildet. Falls ω3(0) = 0 und/oder ω1(0) = ω2(0) = 0 gilt, so bleiben ω1 und ω2 konstant und der Kreisel führt eine konstante Drehbewegung aus oder bleibt im Spezialfall ω1,2,3(0) = 0 in Ruhe.

Für die Skizzierung der allgemeinen Bewegung wird im Massenmittelpunkt des Kreisels zum Zeitpunkt t = 0 ein <a href="Kartesisches_Koordinatensystem" title="Kartesisches Koordinatensystem">kartesisches Koordinatensystem</a> mit x-, y- und z-Achse so gelegt, dass die Figurenachse und die Winkelgeschwindigkeit in der xz-Ebene liegen, siehe Abb. 5. Das <a href="Haupttr%C3%A4gheitsachse" title="Hauptträgheitsachse">Hauptachsen</a>system sei anfänglich so ausgerichtet, dass die Winkelgeschwindigkeit und die Figurenachse in der 13-Ebene liegen und einen Winkel λ einschließen (in Abb. 5 anders dargestellt). Dann ist ω1(0) = ω sin(λ), ω2(0) = 0 und ω3(0) = ω cos(λ) mit dem Betrag <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega :=|{\vec {\omega }}|}">

</mrow>

<mover>

</mover>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega :=|{\vec {\omega }}|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c58e97a1eee707bd2a28fd846999c7c889e26f04.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.931ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \omega :=|{\vec {\omega }}|}" loading="lazy"> der Winkelgeschwindigkeit. Die Hauptachsen werden wie bei den <a href="Kreiseltheorie#Bezugssysteme_und_Euler-Winkel" title="Kreiseltheorie">Euler-Winkeln in der Kreiseltheorie</a> eingeführt mit ê1,2,3 bezeichnet.

Die oben angegebene Lösung der Kreiselgleichungen ergibt mit den getroffenen Anfangsbedingungen:

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}\omega _{1}(t)\\\omega _{2}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\Omega \,t)&-\sin(\Omega \,t)\\\sin(\Omega \,t)&\cos(\Omega \,t)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega \sin(\lambda )\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\omega \sin(\lambda )\cos(\Omega \,t)\\\omega \sin(\lambda )\sin(\Omega \,t)\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/96ae6d9b940c5844aab4aea47f582337c71ee9bd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:71.868ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}\omega _{1}(t)\\\omega _{2}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\Omega \,t)&-\sin(\Omega \,t)\\\sin(\Omega \,t)&\cos(\Omega \,t)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega \sin(\lambda )\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\omega \sin(\lambda )\cos(\Omega \,t)\\\omega \sin(\lambda )\sin(\Omega \,t)\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Differenzvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\omega }}_{\bot }:={\vec {\omega }}-\omega _{3}{\hat {e}}_{3}=\omega _{1}{\hat {e}}_{1}+\omega _{2}{\hat {e}}_{2}}">

<msub>

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}_{\bot }:={\vec {\omega }}-\omega _{3}{\hat {e}}_{3}=\omega _{1}{\hat {e}}_{1}+\omega _{2}{\hat {e}}_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/78c8692ebbce11ae98e73bf4d9d8638df77ff2dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:31.465ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}_{\bot }:={\vec {\omega }}-\omega _{3}{\hat {e}}_{3}=\omega _{1}{\hat {e}}_{1}+\omega _{2}{\hat {e}}_{2}}" loading="lazy"> hat den konstanten Betrag <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{\bot }:={\sqrt {\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}}}=\omega \left|\sin(\lambda )\right|}">

<msub>

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<msqrt>

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</msubsup>

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</msubsup>

</msqrt>

</mrow>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{\bot }:={\sqrt {\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}}}=\omega \left|\sin(\lambda )\right|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ed5bdb4a2b8bd75991dcc14e6981fd0c81763294.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:29.111ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \omega _{\bot }:={\sqrt {\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}}}=\omega \left|\sin(\lambda )\right|}" loading="lazy"> und rotiert um die Figurenachse mit der <a href="Drehzahl" title="Drehzahl">Drehzahl</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {\Omega }{2\pi }}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {\Omega }{2\pi }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/555363c49bb6c4109dff80e221a57dddaa135fa0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:2.6ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {\Omega }{2\pi }}}" loading="lazy">. Die Figurenachse und die Winkelgeschwindigkeit schließen daher immer denselben Winkel, nämlich λ, ein. Die Winkelgeschwindigkeit führt im körperfesten Hauptachsensystem eine Drehbewegung um die Figurenachse aus und formt dabei den körperfesten <a href="Polkegel" title="Polkegel">Polkegel</a> mit dem halben Öffnungswinkel λ (rot in <a href="#kreiselkegel.png">Abb. 5</a> und <a href="#Tr-21.png">Abb. 6</a>).

Im raumfesten System ist der Drehimpuls

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</mtable>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {L}}=&\Theta _{0}\omega _{1}{\hat {e}}_{1}+\Theta _{0}\omega _{2}{\hat {e}}_{2}+\Theta _{3}\omega _{3}{\hat {e}}_{3}=\Theta _{0}({\vec {\omega }}-\omega _{3}{\hat {e}}_{3})+\Theta _{3}\omega _{3}{\hat {e}}_{3}\\=&\Theta _{0}{\vec {\omega }}+(\Theta _{3}-\Theta _{0})\omega _{3}{\hat {e}}_{3}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29ee11557719fee2361de3d672199cd42997fce6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:61.044ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {L}}=&\Theta _{0}\omega _{1}{\hat {e}}_{1}+\Theta _{0}\omega _{2}{\hat {e}}_{2}+\Theta _{3}\omega _{3}{\hat {e}}_{3}=\Theta _{0}({\vec {\omega }}-\omega _{3}{\hat {e}}_{3})+\Theta _{3}\omega _{3}{\hat {e}}_{3}\\=&\Theta _{0}{\vec {\omega }}+(\Theta _{3}-\Theta _{0})\omega _{3}{\hat {e}}_{3}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

um den Massenmittelpunkt konstant (grün in <a href="#kreiselkegel.png">Abb. 5</a>) und bildet die Präzessionsachse<a href="#cite_note-praezession-10">[10]</a>. An letzterer Zerlegung ist erkennbar, dass der Drehimpuls in der von der Figurenachse und der Winkelgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\omega }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4e066a68ceb355e3314fb2b97f1c0c421ca6074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}}" loading="lazy"> aufgespannten Ebene, der Präzessionsebene<a href="#cite_note-praezession-10">[10]</a>, liegt. Die Figurenachse und die Winkelgeschwindigkeit drehen gemeinsam um die raumfeste Präzessionsachse.

Das Koordinatensystem kann nun – wie in <a href="#kreiselkegel.png">Abb. 5</a> – so ausgerichtet werden, dass der Drehimpuls in z-Richtung weist und somit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {L}}=:L{\hat {e}}_{z}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}=:L{\hat {e}}_{z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20089515e3804ca23f47dc66b169efc8dd4c2235.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.204ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}=:L{\hat {e}}_{z}}" loading="lazy"> gilt. Weil sich die <a href="Rotationsenergie" title="Rotationsenergie">Rotationsenergie</a>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\rm {rot}}={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {L}}={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot L{\hat {e}}_{z}=:{\frac {1}{2}}\omega _{z}L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a66f753b58c6ea12adc2ce363086fef39d96d448.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:35.731ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle E_{\rm {rot}}={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {L}}={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot L{\hat {e}}_{z}=:{\frac {1}{2}}\omega _{z}L}" loading="lazy"></dd></dl>

ebenfalls nicht ändert, ist auch die z-Komponente ωz der Winkelgeschwindigkeit in Richtung des Drehimpulses konstant. Damit bewegt sich die Winkelgeschwindigkeit auch um die raumfeste z-Richtung auf einem Kegel, dem raumfesten <a href="Spurkegel" class="mw-redirect" title="Spurkegel">Spurkegel</a> (blau in <a href="#kreiselkegel.png">Abb. 5</a> und <a href="#Tr-21.png">Abb. 6</a>, dort „raumfester Gangpolkegel“ genannt).

Der Gangpolkegel rollt auf dem Rastpolkegel ab. Beim prolaten (gestreckten) Kreisel ist Θ0 > Θ3 und der Gangpolkegel rollt wie in <a href="#kreiselkegel.png">Abb. 5</a> außen auf dem Rastpolkegel ab. Beim oblaten (abgeplatteten) Kreisel ist Θ3 > Θ0 und der Gangpolkegel rollt wie in Abb. 6 innen auf dem Rastpolkegel ab.

Das Abrollen ist <a href="Schlupf" title="Schlupf">schlupf</a>los, denn die gemeinsame Mantellinie von Rastpol- und Gangpolkegel ist die von der Winkelgeschwindigkeit gestellte momentane Drehachse, die durch den ruhenden Massenmittelpunkt geht (in Abb. 6 anders dargestellt). Die Partikel des Kreisels auf der Drehachse stehen still solange sie das tun, der Rastpolkegel ruht sowieso, und Schlupf zwischen Gang- und Rastpolkegel ist mithin ausgeschlossen.

Der Winkel ϑ zwischen der Figurenachse und dem Drehimpuls sowie die z-Komponente ωz der Winkelgeschwindigkeit können mit der mechanischen Analyse im folgenden Abschnitt ermittelt werden.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bewegungsfunktion_des_symmetrischen_Kreisels">Bewegungsfunktion des symmetrischen Kreisels</h3></div>

Wenn, wie im vorherigen Abschnitt, der Drehimpuls in Richtung der z-Achse weist und die Winkelgeschwindigkeit ω sowie der Winkel λ vorgegeben werden (alle diese Größen sind Konstanten der Bewegung), dann berechnen sich der Drehimpuls

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L={\sqrt {\Theta _{3}^{2}\cos ^{2}(\lambda )+\Theta _{0}^{2}\sin ^{2}(\lambda )}}\,\omega \,,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9492e9ec9ecad48519f9999a1697a28b89654db7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:33.616ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle L={\sqrt {\Theta _{3}^{2}\cos ^{2}(\lambda )+\Theta _{0}^{2}\sin ^{2}(\lambda )}}\,\omega \,,}" loading="lazy"></dd></dl>

die Winkelgeschwindigkeiten

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega =&{\frac {\Theta _{3}-\Theta _{0}}{\Theta _{0}}}\omega \cos(\lambda )\\\omega _{1}=&{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )=\omega \sin(\lambda )\cos(\Omega t)\\\omega _{2}=&{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )=\omega \sin(\lambda )\sin(\Omega t)\\\omega _{3}=&{\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}=\omega \cos(\lambda )\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8cda2b55bfe84db3894a9292f3a0a8b0d53e2c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.505ex; width:39.075ex; height:16.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega =&{\frac {\Theta _{3}-\Theta _{0}}{\Theta _{0}}}\omega \cos(\lambda )\\\omega _{1}=&{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )=\omega \sin(\lambda )\cos(\Omega t)\\\omega _{2}=&{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )=\omega \sin(\lambda )\sin(\Omega t)\\\omega _{3}=&{\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}=\omega \cos(\lambda )\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und die Winkel

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<mi>arctan</mi>

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi ={\frac {\pi }{2}}+{\frac {L}{\Theta _{0}}}\,t\,,\quad \vartheta =\arctan \left({\frac {\Theta _{0}}{\Theta _{3}}}\tan(\lambda )\right)\,,\quad \varphi ={\frac {\pi }{2}}-\Omega t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ac36900b2602bb724099e2fe6ce7a18cd8eba3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:59.147ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \psi ={\frac {\pi }{2}}+{\frac {L}{\Theta _{0}}}\,t\,,\quad \vartheta =\arctan \left({\frac {\Theta _{0}}{\Theta _{3}}}\tan(\lambda )\right)\,,\quad \varphi ={\frac {\pi }{2}}-\Omega t}" loading="lazy"></dd></dl>

in <a href="Radiant_(Einheit)" title="Radiant (Einheit)">Radiant</a>. Die Funktion tan ist der <a href="Tangens_und_Kotangens" title="Tangens und Kotangens">Tangens</a> und arctan seine <a href="Arkusfunktion" title="Arkusfunktion">Arkusfunktion</a>. Die von der Figurenachse und der Winkelgeschwindigkeit aufgespannte Präzessionsebene, in der auch den Drehimpuls liegt, schließt mit der xz-Ebene den Winkel

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu ={\frac {\Theta _{3}\cos ^{2}(\lambda )+\Theta _{0}\sin ^{2}(\lambda )}{\sqrt {\Theta _{3}^{2}\cos ^{2}(\lambda )+\Theta _{0}^{2}\sin ^{2}(\lambda )}}}\,\omega t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c7e60067c3978c1440c9612e4e173a2441ab728.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:34.076ex; height:8.676ex;" alt="{\displaystyle \mu ={\frac {\Theta _{3}\cos ^{2}(\lambda )+\Theta _{0}\sin ^{2}(\lambda )}{\sqrt {\Theta _{3}^{2}\cos ^{2}(\lambda )+\Theta _{0}^{2}\sin ^{2}(\lambda )}}}\,\omega t}" loading="lazy"></dd></dl>

ein.

<td>Beweis

</td></tr>

<tr>

<td>Der Drehimpuls ist in Abwesenheit äußerer Momente konstant und weise in einem raumfesten <a href="Kartesisches_Koordinatensystem" title="Kartesisches Koordinatensystem">kartesischen xyz-Koordinatensystem</a> in z-Richtung. Dann ergibt sich mit den <a href="Kreiseltheorie#Bezugssysteme_und_Euler-Winkel" title="Kreiseltheorie">Euler-Winkeln in der Kreiseltheorie</a>:

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {L}}=&L{\hat {e}}_{z}=\Theta _{0}\omega _{1}{\hat {e}}_{1}+\Theta _{0}\omega _{2}{\hat {e}}_{2}+\Theta _{3}\omega _{3}{\hat {e}}_{3}\\L=&{\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{z}=\Theta _{0}\omega _{1}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )+\Theta _{0}\omega _{2}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )+\Theta _{3}\omega _{3}\cos(\vartheta )\\=&\Theta _{0}{\dot {\psi }}\sin ^{2}(\vartheta )+\Theta _{3}\omega _{3}\cos(\vartheta )\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e1a18d772af25965744bf956d77159d7d21c5975.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:68.142ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {L}}=&L{\hat {e}}_{z}=\Theta _{0}\omega _{1}{\hat {e}}_{1}+\Theta _{0}\omega _{2}{\hat {e}}_{2}+\Theta _{3}\omega _{3}{\hat {e}}_{3}\\L=&{\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{z}=\Theta _{0}\omega _{1}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )+\Theta _{0}\omega _{2}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )+\Theta _{3}\omega _{3}\cos(\vartheta )\\=&\Theta _{0}{\dot {\psi }}\sin ^{2}(\vartheta )+\Theta _{3}\omega _{3}\cos(\vartheta )\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Winkelgeschwindigkeit ω3 ist den Kreiselgleichungen zufolge genauso wie der Drehimpuls L und

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{3}=\Theta _{3}\omega _{3}=L\cos(\vartheta )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cdde20f755147b8ca6245990a7be083d789ffc81.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.461ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle L_{3}=\Theta _{3}\omega _{3}=L\cos(\vartheta )}" loading="lazy"></dd></dl>

konstant, weshalb auch der Winkel ϑ konstant ist. Daraus folgt

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L={\frac {\Theta _{3}\omega _{3}}{\cos(\vartheta )}}\quad {\text{und}}\quad {\dot {\psi }}={\frac {\Theta _{3}\omega _{3}}{\Theta _{0}\cos(\vartheta )}}={\frac {L}{\Theta _{0}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2bafeb73e4f510adf79c0fee8578dc56886073ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:42.205ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle L={\frac {\Theta _{3}\omega _{3}}{\cos(\vartheta )}}\quad {\text{und}}\quad {\dot {\psi }}={\frac {\Theta _{3}\omega _{3}}{\Theta _{0}\cos(\vartheta )}}={\frac {L}{\Theta _{0}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Mit den Kreiselgleichungen und den Zusammenhängen zwischen den Winkelgeschwindigkeiten und den Winkeln zeigt sich

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</mtable>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\vartheta }}=&{\dot {\omega }}_{1}\cos(\varphi )-\omega _{1}\sin(\varphi ){\dot {\varphi }}-{\dot {\omega }}_{2}\sin(\varphi )-\omega _{2}\cos(\varphi ){\dot {\varphi }}\\=&-{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\left({\frac {\Theta _{0}-\Theta _{3}}{\Theta _{0}}}\omega _{3}-{\dot {\varphi }}\right)=0\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a54bf268fb6f27beabe0ef5e116c4fcdfa658a0f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.171ex; width:53.057ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\vartheta }}=&{\dot {\omega }}_{1}\cos(\varphi )-\omega _{1}\sin(\varphi ){\dot {\varphi }}-{\dot {\omega }}_{2}\sin(\varphi )-\omega _{2}\cos(\varphi ){\dot {\varphi }}\\=&-{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\left({\frac {\Theta _{0}-\Theta _{3}}{\Theta _{0}}}\omega _{3}-{\dot {\varphi }}\right)=0\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\psi }}=0}">

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\psi }}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c7a99b00395b60e81f0612058ea8aa260c65e6d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.857ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\psi }}=0}" loading="lazy"> findet keine Drehung statt (wegen L = 0) und bei sin(ϑ) = 0 dreht der Kreisel gleichförmig um seine Figurenachse. Ansonsten ergibt sich

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\varphi }}={\frac {\Theta _{0}-\Theta _{3}}{\Theta _{0}}}\omega _{3}=-\Omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e03028160bd08f1d83cbd7d3a93999a84df30b2b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:23.119ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\varphi }}={\frac {\Theta _{0}-\Theta _{3}}{\Theta _{0}}}\omega _{3}=-\Omega }" loading="lazy"></dd></dl>

Die z-Komponente ωz der Winkelgeschwindigkeit lautet

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{z}=(\omega _{1}{\hat {e}}_{1}+\omega _{2}{\hat {e}}_{2}+\omega _{3}{\hat {e}}_{3})\cdot {\hat {e}}_{z}={\frac {\Theta _{3}\sin ^{2}(\vartheta )+\Theta _{0}\cos ^{2}(\vartheta )}{\Theta _{0}\cos(\vartheta )}}\omega _{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17dbf15958d61b015a33f62c7b9bfa7672c05346.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:61.761ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \omega _{z}=(\omega _{1}{\hat {e}}_{1}+\omega _{2}{\hat {e}}_{2}+\omega _{3}{\hat {e}}_{3})\cdot {\hat {e}}_{z}={\frac {\Theta _{3}\sin ^{2}(\vartheta )+\Theta _{0}\cos ^{2}(\vartheta )}{\Theta _{0}\cos(\vartheta )}}\omega _{3}}" loading="lazy"></dd></dl>

</td></tr>

<tr>

<th>Anfangsbedingungen

</th></tr>

<tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{3}={\vec {\omega }}\cdot {\hat {e}}_{3}=\omega \cos(\lambda )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f340ec7c88ea8a9447d6a9b4c51bfb9fd837f8dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.276ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \omega _{3}={\vec {\omega }}\cdot {\hat {e}}_{3}=\omega \cos(\lambda )}" loading="lazy"> und diesen Wert behält ω3. Der Winkel ϑ kann nun als Funktion des Winkels λ ausgedrückt werden:

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

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</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

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</msub>

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</mrow>

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</mfrac>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\omega \cos(\lambda )=&\omega _{3}={\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}={\dot {\psi }}\cos(\vartheta )-\Omega \\\omega \sin(\lambda )=&\omega _{\bot }={\sqrt {\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}}}={\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\\\rightarrow \cot(\lambda )=&\cot(\vartheta )-{\frac {\Omega }{{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )}}=\cot(\vartheta )+{\frac {\Theta _{0}-\Theta _{3}}{\Theta _{0}}}\omega _{3}{\frac {\Theta _{0}\cos(\vartheta )}{\Theta _{3}\omega _{3}\sin(\vartheta )}}\\=&\cot(\vartheta )+{\frac {\Theta _{0}-\Theta _{3}}{\Theta _{3}}}\cot(\vartheta )\\\rightarrow \tan(\vartheta )=&{\frac {\Theta _{0}}{\Theta _{3}}}\tan(\lambda )\,.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2e712a092dfc8bec1f6973c7d9b635c1da4f6fb0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -13.005ex; width:67.444ex; height:27.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\omega \cos(\lambda )=&\omega _{3}={\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}={\dot {\psi }}\cos(\vartheta )-\Omega \\\omega \sin(\lambda )=&\omega _{\bot }={\sqrt {\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}}}={\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\\\rightarrow \cot(\lambda )=&\cot(\vartheta )-{\frac {\Omega }{{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )}}=\cot(\vartheta )+{\frac {\Theta _{0}-\Theta _{3}}{\Theta _{0}}}\omega _{3}{\frac {\Theta _{0}\cos(\vartheta )}{\Theta _{3}\omega _{3}\sin(\vartheta )}}\\=&\cot(\vartheta )+{\frac {\Theta _{0}-\Theta _{3}}{\Theta _{3}}}\cot(\vartheta )\\\rightarrow \tan(\vartheta )=&{\frac {\Theta _{0}}{\Theta _{3}}}\tan(\lambda )\,.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Der <a href="Tangens_und_Kotangens" title="Tangens und Kotangens">Kotangens</a> cot ist der Kehrwert des Tangens. Wegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos x=(1+\tan ^{2}x)^{-1/2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos x=(1+\tan ^{2}x)^{-1/2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89923497dfcce8c7a5996b8d56c346a27f45f2d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.846ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \cos x=(1+\tan ^{2}x)^{-1/2}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tan(\vartheta )={\tfrac {\Theta _{0}}{\Theta _{3}}}\tan(\lambda )}">

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan(\vartheta )={\tfrac {\Theta _{0}}{\Theta _{3}}}\tan(\lambda )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3590ab268a69e2007d216852fcc5f9941570ca29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:19.499ex; height:4.509ex;" alt="{\displaystyle \tan(\vartheta )={\tfrac {\Theta _{0}}{\Theta _{3}}}\tan(\lambda )}" loading="lazy"> folgt für den Drehimpuls:

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L={\frac {\Theta _{3}\omega _{3}}{\cos(\vartheta )}}={\frac {\Theta _{3}\omega \cos(\lambda )}{\cos(\vartheta )}}={\sqrt {\Theta _{3}^{2}\cos ^{2}(\lambda )+\Theta _{0}^{2}\sin ^{2}(\lambda )}}\,\omega \,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1dbe584843cb0644c6450563892b96e741107e78.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:58.75ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle L={\frac {\Theta _{3}\omega _{3}}{\cos(\vartheta )}}={\frac {\Theta _{3}\omega \cos(\lambda )}{\cos(\vartheta )}}={\sqrt {\Theta _{3}^{2}\cos ^{2}(\lambda )+\Theta _{0}^{2}\sin ^{2}(\lambda )}}\,\omega \,.}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Vorgaben

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

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</mover>

</mrow>

<mover>

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</mstyle>

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</mover>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{1}(t=0)=&{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )=\omega \sin(\lambda )\sin(\varphi )\,{\stackrel {\displaystyle !}{=}}\,\omega \sin(\lambda )\\\omega _{2}(t=0)=&{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )=\omega \sin(\lambda )\cos(\varphi )\,{\stackrel {\displaystyle !}{=}}\,0\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/811de4323015bed2b180349bb323b1e4f63efc0b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.838ex; width:55.167ex; height:8.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{1}(t=0)=&{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )=\omega \sin(\lambda )\sin(\varphi )\,{\stackrel {\displaystyle !}{=}}\,\omega \sin(\lambda )\\\omega _{2}(t=0)=&{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )=\omega \sin(\lambda )\cos(\varphi )\,{\stackrel {\displaystyle !}{=}}\,0\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

können mit dem Anfangswert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b4e31a202557dfbf326b44ebcc914ba3ab08fff1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:1.778ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}" loading="lazy"> für den Winkel φ erfüllt werden, sodass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi ={\tfrac {\pi }{2}}-\Omega t}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi ={\tfrac {\pi }{2}}-\Omega t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93cb6f7cf9b39e71f40fc6fa29a9ce936bc672c0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:11.755ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi ={\tfrac {\pi }{2}}-\Omega t}" loading="lazy">. Die Winkelgeschwindigkeit lautet mit den <a href="Formelsammlung_Trigonometrie#Additionstheoreme" title="Formelsammlung Trigonometrie">Additionstheoremen</a> zur Zeit t = 0:

<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

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</mrow>

</mrow>

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<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}=\omega \sin(\lambda ){\hat {e}}_{1}+\omega \cos(\lambda ){\hat {e}}_{3}=\omega {\begin{pmatrix}\sin(\psi )\sin(\vartheta -\lambda )\\-\cos(\psi )\sin(\vartheta -\lambda )\\\cos(\vartheta -\lambda )\end{pmatrix}}\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/18246b289234e1a0da28a7fdfaa75911efcf3211.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:57.685ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}=\omega \sin(\lambda ){\hat {e}}_{1}+\omega \cos(\lambda ){\hat {e}}_{3}=\omega {\begin{pmatrix}\sin(\psi )\sin(\vartheta -\lambda )\\-\cos(\psi )\sin(\vartheta -\lambda )\\\cos(\vartheta -\lambda )\end{pmatrix}}\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

Damit diese in der xz-Ebene liegt, wird der Anfangswert von ψ auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}</annotation>

</semantics>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi ={\frac {\pi }{2}}+{\dot {\psi }}t={\frac {\pi }{2}}+{\frac {L}{\Theta _{0}}}t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7f49ba27ba9f0db9183abdb5ee31a0ee9c4886c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.701ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \psi ={\frac {\pi }{2}}+{\dot {\psi }}t={\frac {\pi }{2}}+{\frac {L}{\Theta _{0}}}t}" loading="lazy"></dd></dl>

ergibt. Wenn der Drehwinkel der Präzessionsebene um die z-Achse mit µ bezeichnet wird und zu Beginn den Wert null hat, dann folgt mit obigem ωz und tan(ϑ), <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \cos(\vartheta )=(1+\tan ^{2}(\vartheta ))^{-1/2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos(\vartheta )=(1+\tan ^{2}(\vartheta ))^{-1/2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02238b28f635d619ab0b5185c1c49e06305c2ce2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.779ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \cos(\vartheta )=(1+\tan ^{2}(\vartheta ))^{-1/2}}" loading="lazy"> sowie ω3 = ω cos(λ):

<msub>

</mrow>

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<mfrac>

<mrow>

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</msub>

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</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu :=\omega _{z}t={\frac {\Theta _{3}\cos ^{2}(\lambda )+\Theta _{0}\sin ^{2}(\lambda )}{\sqrt {\Theta _{3}^{2}\cos ^{2}(\lambda )+\Theta _{0}^{2}\sin ^{2}(\lambda )}}}\,\omega t\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/acee9c44babb0962101649f130b2a73450207600.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:42.143ex; height:8.676ex;" alt="{\displaystyle \mu :=\omega _{z}t={\frac {\Theta _{3}\cos ^{2}(\lambda )+\Theta _{0}\sin ^{2}(\lambda )}{\sqrt {\Theta _{3}^{2}\cos ^{2}(\lambda )+\Theta _{0}^{2}\sin ^{2}(\lambda )}}}\,\omega t\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kräftefreier_asymmetrischer_Kreisel">Kräftefreier asymmetrischer Kreisel</h2></div>

Asymmetrische Kreisel besitzen <a href="Per_definitionem" class="mw-redirect" title="Per definitionem">per definitionem</a> drei verschiedene <a href="Haupttr%C3%A4gheitsmoment" class="mw-redirect" title="Hauptträgheitsmoment">Hauptträgheitsmomente</a>. Dreht sich ein solcher Kreisel um die 3-Achse, dann kann diese Bewegung instabil oder stabil sein. Im ersteren Fall nehmen kleine Störungen <a href="Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">exponentiell</a> zu und der Kreisel beginnt zu taumeln, was im nächsten Abschnitt begründet wird. Im stabilen Fall bilden sich periodische Bewegungsformen des zweiten Abschnitts aus. Über den Spezialfall der Bewegung auf der Separatrix, die im Abschnitt <a href="#Stabilitätsbetrachtungen">#Stabilitätsbetrachtungen</a> definiert wurde, wird am Schluss informiert.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Stabilität_der_Bewegung_unsymmetrischer_Kreisel">Stabilität der Bewegung unsymmetrischer Kreisel</h3></div>

Die <a href="Haupttr%C3%A4gheitsachse" title="Hauptträgheitsachse">Hauptachsen</a> mit dem größten oder dem kleinsten Hauptträgheitsmoment sind stabile Drehachsen. Dies ist spätestens seit 1851 bekannt<a href="#cite_note-11">[11]</a> und mit einem rotierend in die Höhe geworfenen <a href="Tischtennisschl%C3%A4ger" title="Tischtennisschläger">Tischtennisschläger</a> auch leicht zu demonstrieren. Im Englischen ist die Aussage entsprechend als „Satz vom Tennisschläger“ (tennis racket theorem)<a href="#cite_note-12">[12]</a> geläufig. Nachdem der sowjetische Kosmonaut <a href="Wladimir_Alexandrowitsch_Dschanibekow" title="Wladimir Alexandrowitsch Dschanibekow">Wladimir Dschanibekow</a> während eines Raumfluges 1985 die Bewegung eines Bauteils um seine instabile Hauptträgheitsachse beobachtet hat, wurde der Sachverhalt genauer untersucht<a href="#cite_note-13">[13]</a> und wird seitdem gelegentlich „<a href="Dschanibekow-Effekt" title="Dschanibekow-Effekt">Dschanibekow-Effekt</a>“ genannt.

Um die Stabilität der Drehachsen zu prüfen, soll der Kreisel zunächst vor allem um die 3-Achse rotieren: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{3}\neq 0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{3}\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c34146a2304ed0f4b07c2cbd828be256deda8282.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.761ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \omega _{3}\neq 0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\omega _{1,2}|\ll {\sqrt {|{\dot {\omega }}_{3}|}}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msqrt>

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\omega _{1,2}|\ll {\sqrt {|{\dot {\omega }}_{3}|}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/151d267f98906cfb6bbce442303550868453db4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:14.805ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle |\omega _{1,2}|\ll {\sqrt {|{\dot {\omega }}_{3}|}}}" loading="lazy">. Nun lauten die Kreiselgleichungen

<mtr>

<mtd>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\dot {\omega }}_{1}-{\frac {\Theta _{2}-\Theta _{3}}{\Theta _{1}}}\omega _{2}\omega _{3}\\0=&{\dot {\omega }}_{2}-{\frac {\Theta _{3}-\Theta _{1}}{\Theta _{2}}}\omega _{3}\omega _{1}\\0=&{\dot {\omega }}_{3}-{\frac {\Theta _{1}-\Theta _{2}}{\Theta _{3}}}\omega _{1}\omega _{2}\approx {\dot {\omega }}_{3}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bcc21f455e61a4b986d40eee01446b875c2f0f4b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -8.338ex; width:29.708ex; height:17.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\dot {\omega }}_{1}-{\frac {\Theta _{2}-\Theta _{3}}{\Theta _{1}}}\omega _{2}\omega _{3}\\0=&{\dot {\omega }}_{2}-{\frac {\Theta _{3}-\Theta _{1}}{\Theta _{2}}}\omega _{3}\omega _{1}\\0=&{\dot {\omega }}_{3}-{\frac {\Theta _{1}-\Theta _{2}}{\Theta _{3}}}\omega _{1}\omega _{2}\approx {\dot {\omega }}_{3}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Wie im Abschnitt <a href="#Beschreibung_der_Bewegung">#Beschreibung der Bewegung</a> entsteht durch Ableitungen nach der Zeit und mit der näherungsweisen Konstanz der Winkelgeschwindigkeit ω3:

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</mrow>

</mrow>

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Falls k negativ ist, kommt es zu <a href="Positive_R%C3%BCckkopplung" title="Positive Rückkopplung">positiver Rückkopplung</a> der Winkelgeschwindigkeiten und damit zum Verlassen der Rotation um die 3-Achse hin zu einem Taumeln. Falls k positiv ist, ergeben sich periodische Bewegungsformen um die 3-Achse. Dafür müssen die Hauptträgheitsmomente Θ1,2 entweder beide größer oder beide kleiner als das dritte Hauptträgheitsmoment Θ3 sein, woraus die obige Aussage über die Stabilität der Achsen folgt.

Bei sehr unterschiedlichen Hauptträgheitmomenten kann auch eine stabile Drehachse instabil erscheinen. Die Poinsot’sche Konstruktion gibt ein geometrisches Stabilitätskriterium für die Hauptträgheitsachsen, das diesem Phänomen gerecht wird.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bewegungsfunktion_des_asymmetrischen_Kreisels">Bewegungsfunktion des asymmetrischen Kreisels</h3></div>

Beim <a href="Unsymmetrischer_Kreisel" title="Unsymmetrischer Kreisel">asymmetrischen Kreisel</a> können die Kreiselgleichungen im kräftefreien Fall mit den <a href="Jacobische_elliptische_Funktion" class="mw-redirect" title="Jacobische elliptische Funktion">Jacobi’schen elliptischen Funktionen</a> sn, cn und dn erfüllt werden<a href="#cite_note-magnus64ff-14">[14]</a>. Dazu werden die Hauptachsen so nummeriert, dass Θ1 > Θ2 > Θ3 wird. Aus der Rotationsenergie und dem <a href="Betragsquadrat" title="Betragsquadrat">Betragsquadrat</a> des Drehimpulses

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ergeben sich bei epizykloidischen Bewegungen, wo L² < 2Θ2Erot ist, die Winkelgeschwindigkeiten

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mit der Frequenz a und dem elliptischen Modul k

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Bei perizykloidischen Bewegungen ist L² > 2Θ2Erot und

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mit der Frequenz a und dem elliptischen Modul k

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Von den Wurzeln bei den Winkelgeschwindigkeiten haben immer zwei gleiches Vorzeichen und es müssen verschiedene Vorzeichen vorkommen, was insgesamt sechs mögliche Kombinationen erlaubt, von denen hier eine willkürlich ausgewählt wurde.

Die in der <a href="Kreiseltheorie#Bezugssysteme_und_Euler-Winkel" title="Kreiseltheorie">Kreiseltheorie benutzten eulerschen Winkel</a> berechnen sich aus<a href="#cite_note-15">[15]</a>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos(\vartheta )={\frac {\Theta _{3}}{L}}\omega _{3}\,,\;\tan(\varphi )={\frac {\Theta _{1}\omega _{1}}{\Theta _{2}\omega _{2}}}\,,\;{\dot {\psi }}=L{\frac {2E_{\text{rot}}-\Theta _{3}\omega _{3}^{2}}{L^{2}-\Theta _{3}^{2}\omega _{3}^{2}}}>0}</annotation>

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Anders als beim kräftefreien symmetrischen Kreisel sind die Winkelgeschwindigkeiten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{3},\,{\dot {\psi }},\,{\dot {\varphi }}}">

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bad305d93cad2dc44c193d0293e3e3d222e4290c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.473ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \omega _{3},\,{\dot {\psi }},\,{\dot {\varphi }}}" loading="lazy"> und der Winkel ϑ zwischen dem Drehimpuls und der 3-Achse nicht konstant.

Die Funktionen sn und cn sind periodisch mit der Periode 4K und dn mit der Periode 2K, siehe <a href="#Bewegungsfunktion_des_asymmetrischen_Kreisels">Abb. 8</a>, wo K das <a href="Elliptisches_Integral#Vollständige_elliptische_Integrale" class="mw-redirect" title="Elliptisches Integral">vollständige elliptische Integral erster Art</a> ist:

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Die Winkelgeschwindigkeiten ω1,2,3 sind somit periodisch mit der Periodenlänge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T={\tfrac {4K}{a}}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T={\tfrac {4K}{a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95aaf1d93b9206c204d28d56c101115d3c915202.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.854ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle T={\tfrac {4K}{a}}}" loading="lazy">; nach dieser Zeit kehren sie wieder in ihren Ausgangszustand zurück: ω1,2,3(t+T) = ω1,2,3(t). Aus der Periodizität von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\psi }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\psi }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c6912355df049856322d8d4d631156fa10f3a37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.596ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\psi }}}" loading="lazy"> folgt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \psi (t+T)-\psi (t)=\Delta \psi ={\text{const.}}}">

<mtext>const.</mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \psi (t+T)-\psi (t)=\Delta \psi ={\text{const.}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/66142d4ea359093c9d2e8c25c26d6a8f69923769.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.242ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \psi (t+T)-\psi (t)=\Delta \psi ={\text{const.}}}" loading="lazy"> Nach der Zeit T ist der Kreisel also in einer um Δψ verdrehten Position. Der Kreisel kehrt nur dann in die Ausgangsposition zurück, wenn Δψ/π eine <a href="Rationale_Zahl" title="Rationale Zahl">rationale Zahl</a> ist.<a href="#cite_note-16">[16]</a>

Die Formeln sind auch für <a href="Symmetrischer_Kreisel" title="Symmetrischer Kreisel">symmetrische Kreisel</a> gültig. Allerdings können gestreckte Kreisel mit Θ1 = Θ2 > Θ3 nur epizykloidische und abgeplattete mit Θ1 > Θ2 = Θ3 nur perizykloidische Drehungen ausführen, da sonst die Amplitude von ω2 über alle Grenzen wächst. Bei den erlaubten Bewegungen ist k = 0, sodass die elliptischen Funktionen sn und cn zu den harmonischen Funktionen sin bzw. cos werden und dn ≡ 1 ist. Dann geht die hiesige Lösung in die des symmetrischen Kreisels über.

Ausgenommen hiervon sind einzig kräftefreie <a href="Kugelkreisel" title="Kugelkreisel">Kugelkreisel</a>, wo L² - 2Θ3Erot = 2Θ1Erot - L² = 0 ist und die Amplituden nicht mehr definiert sind, siehe <a href="#Kräftefreier_Kugelkreisel">#Kräftefreier Kugelkreisel</a> weiter unten.

<td>Herleitung der Winkelgeschwindigkeiten nach Euler<a href="#cite_note-magnus64ff-14">[14]</a>

</td></tr>

<tr>

<td>Die Winkelgeschwindigkeiten leiten sich aus den Konstanten

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{2}:=\Theta _{1}^{2}\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}^{2}\omega _{2}^{2}+\Theta _{3}^{2}\omega _{3}^{2}\;,\quad E_{\text{rot}}:={\frac {1}{2}}(\Theta _{1}\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}\omega _{2}^{2}+\Theta _{3}\omega _{3}^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd75f491c2bc28325f72aa4864b21ff4299cec6b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:65.527ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle L^{2}:=\Theta _{1}^{2}\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}^{2}\omega _{2}^{2}+\Theta _{3}^{2}\omega _{3}^{2}\;,\quad E_{\text{rot}}:={\frac {1}{2}}(\Theta _{1}\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}\omega _{2}^{2}+\Theta _{3}\omega _{3}^{2})}" loading="lazy"></dd></dl>

ab. Dazu wird für die Hauptträgheitsmomente Θ1 > Θ2 > Θ3 angenommen. Mit den beiden Konstanten können ω1 und ω3 als Funktionen von ω2 ausgedrückt werden:

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{1}^{2}={\frac {\Theta _{2}(\Theta _{2}-\Theta _{3})}{\Theta _{1}(\Theta _{1}-\Theta _{3})}}(x_{1}^{2}-\omega _{2}^{2})\;,\quad \omega _{3}^{2}={\frac {\Theta _{2}(\Theta _{1}-\Theta _{2})}{\Theta _{3}(\Theta _{1}-\Theta _{3})}}(x_{2}^{2}-\omega _{2}^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/214be9c5e545e6cfbaccc8cb1fd18ac4359bcc96.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:62.412ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \omega _{1}^{2}={\frac {\Theta _{2}(\Theta _{2}-\Theta _{3})}{\Theta _{1}(\Theta _{1}-\Theta _{3})}}(x_{1}^{2}-\omega _{2}^{2})\;,\quad \omega _{3}^{2}={\frac {\Theta _{2}(\Theta _{1}-\Theta _{2})}{\Theta _{3}(\Theta _{1}-\Theta _{3})}}(x_{2}^{2}-\omega _{2}^{2})}" loading="lazy"> </div>

</td>

</td>

</td></tr>

</td></tr></tbody></table>

mit

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}:={\sqrt {\frac {L^{2}-2\Theta _{3}E_{\text{rot}}}{\Theta _{2}(\Theta _{2}-\Theta _{3})}}}\;,\quad x_{2}:={\sqrt {\frac {2\Theta _{1}E_{\text{rot}}-L^{2}}{\Theta _{2}(\Theta _{1}-\Theta _{2})}}}\\x_{1}^{2}-x_{2}^{2}={\frac {(\Theta _{1}-\Theta _{3})(L^{2}-2\Theta _{2}E_{\text{rot}})}{\Theta _{2}(\Theta _{1}-\Theta _{2})(\Theta _{2}-\Theta _{3})}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1cd15c02eb467591d3af846fd2e9361b78cbedf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.671ex; width:50.444ex; height:14.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}:={\sqrt {\frac {L^{2}-2\Theta _{3}E_{\text{rot}}}{\Theta _{2}(\Theta _{2}-\Theta _{3})}}}\;,\quad x_{2}:={\sqrt {\frac {2\Theta _{1}E_{\text{rot}}-L^{2}}{\Theta _{2}(\Theta _{1}-\Theta _{2})}}}\\x_{1}^{2}-x_{2}^{2}={\frac {(\Theta _{1}-\Theta _{3})(L^{2}-2\Theta _{2}E_{\text{rot}})}{\Theta _{2}(\Theta _{1}-\Theta _{2})(\Theta _{2}-\Theta _{3})}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Weil die Ausdrücke positiv sind, folgt

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</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -1\leq {\frac {\omega _{2}}{x_{1,2}}}\leq 1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6f9e32355891fb2962a0634a462b71c7adedc66.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:14.829ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle -1\leq {\frac {\omega _{2}}{x_{1,2}}}\leq 1}" loading="lazy"></dd></dl>

Die zweite der <a href="#Kreiselgleichungen">Euler’schen Kreiselgleichungen</a> liefert mit obigen ω1,2

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\omega }}_{2}=x_{3}{\sqrt {(x_{1}^{2}-\omega _{2}^{2})(x_{2}^{2}-\omega _{2}^{2})}}\;,\quad x_{3}:={\sqrt {\frac {(\Theta _{1}-\Theta _{2})(\Theta _{2}-\Theta _{3})}{\Theta _{1}\Theta _{3}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/785fb0c6a097e2e7840076ac897310195f101f71.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:63.413ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\omega }}_{2}=x_{3}{\sqrt {(x_{1}^{2}-\omega _{2}^{2})(x_{2}^{2}-\omega _{2}^{2})}}\;,\quad x_{3}:={\sqrt {\frac {(\Theta _{1}-\Theta _{2})(\Theta _{2}-\Theta _{3})}{\Theta _{1}\Theta _{3}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Bei epizykloidischen Bewegungen ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{2}<2\Theta _{2}E_{\text{rot}},\,x_{1}^{2}<x_{2}^{2}}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{2}<2\Theta _{2}E_{\text{rot}},\,x_{1}^{2}<x_{2}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f836c28cabb4bb765e0f7cc7a919e7e3e6311726.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:23.101ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle L^{2}<2\Theta _{2}E_{\text{rot}},\,x_{1}^{2}<x_{2}^{2}}" loading="lazy"> und die Lösung ergibt sich mit ω2(t0) = 0, was abseits der zweiten Hauptachse immer irgendwann eintrifft, nach <a href="Trennung_der_Variablen" class="mw-redirect" title="Trennung der Variablen">Trennung der Variablen</a> und der <a href="Substitutionsregel" class="mw-redirect" title="Substitutionsregel">Substitution</a> q = x1sin(ϑ) zu

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}x_{3}\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} \tau =\int _{0}^{\omega _{2}}{\frac {x_{2}\mathrm {d} q}{\sqrt {(x_{1}^{2}-q^{2})(x_{2}^{2}-q^{2})}}}=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\vartheta )}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c693d179b3de64d7f36735b0b5a8a819d2c0908.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:65.022ex; height:8.509ex;" alt="{\displaystyle x_{2}x_{3}\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} \tau =\int _{0}^{\omega _{2}}{\frac {x_{2}\mathrm {d} q}{\sqrt {(x_{1}^{2}-q^{2})(x_{2}^{2}-q^{2})}}}=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\vartheta )}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Auf der rechten Seite steht ein <a href="Elliptisches_Integral" class="mw-redirect" title="Elliptisches Integral">Elliptisches Integral</a> der 1. Art mit dem elliptischen Modul k = x1/x2, das eine <a href="Jacobische_elliptische_Funktion" class="mw-redirect" title="Jacobische elliptische Funktion">Jacobische elliptische Funktion</a> als Lösungsfunktion besitzt:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} {\Bigg (}\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\vartheta )}}};k{\Bigg )}:=&\sin(\varphi )={\frac {\omega _{2}}{x_{1}}}\\\rightarrow \omega _{2}=x_{1}\operatorname {sn} \left(x_{2}x_{3}\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} \tau ;k\right)=&x_{1}\operatorname {sn} {\big (}x_{2}x_{3}(t-t_{0});k{\big )}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84f851f2d540e46e05fdac1ed35fdb0f321ed6c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.171ex; width:55.721ex; height:15.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} {\Bigg (}\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\vartheta )}}};k{\Bigg )}:=&\sin(\varphi )={\frac {\omega _{2}}{x_{1}}}\\\rightarrow \omega _{2}=x_{1}\operatorname {sn} \left(x_{2}x_{3}\int _{t_{0}}^{t}\mathrm {d} \tau ;k\right)=&x_{1}\operatorname {sn} {\big (}x_{2}x_{3}(t-t_{0});k{\big )}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Aus <a href="#p**2">(*)</a> können nun ω1 und ω3 unter Zuhilfenahme der <a href="Jacobische_elliptische_Funktion#Quadratische_Beziehungen" class="mw-redirect" title="Jacobische elliptische Funktion">Beziehungen zwischen den quadrierten jacobischen elliptischen Funktionen</a> berechnet werden mit dem im Text angegebenen Resultat.

Bei perizykloidischer Bewegung ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{2}>2\Theta _{2}E_{\text{rot}},\,x_{1}^{2}>x_{2}^{2}}">

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{2}>2\Theta _{2}E_{\text{rot}},\,x_{1}^{2}>x_{2}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fca8af867bdcfb0e8d3281989545f9fc007235e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:23.101ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle L^{2}>2\Theta _{2}E_{\text{rot}},\,x_{1}^{2}>x_{2}^{2}}" loading="lazy"> und das Ergebnis leitet sich mit vertauschten x1,2 ab.

</td></tr></tbody></table>

<td>Herleitung der Euler-Winkel

</td></tr>

<tr>

<td>Vergleich der Komponenten des Drehimpulses in euler-Winkeln (siehe <a href="Kreiseltheorie#Bezugssysteme_und_Euler-Winkel" title="Kreiseltheorie">Kreiseltheorie#Bezugssysteme und Euler-Winkel</a>) liefert im <a href="Haupttr%C3%A4gheitsachse" title="Hauptträgheitsachse">Hauptachsen</a>system ê1,2,3:

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {L}}=&L{\hat {e}}_{z}=L{\begin{pmatrix}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )\\\sin(\vartheta )\cos(\varphi )\\\cos(\vartheta )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}L_{1}\\L_{2}\\L_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Theta _{1}\omega _{1}\\\Theta _{2}\omega _{2}\\\Theta _{3}\omega _{3}\end{pmatrix}}\\\rightarrow \cos(\vartheta )=&{\frac {L_{3}}{L}}={\frac {\Theta _{3}\omega _{3}}{L}}\;,\quad \tan(\varphi )={\frac {L_{1}}{L_{2}}}={\frac {\Theta _{1}\omega _{1}}{\Theta _{2}\omega _{2}}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/66661bffefed06974e69e130b723e8f5de2eb72a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.171ex; width:62.543ex; height:15.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {L}}=&L{\hat {e}}_{z}=L{\begin{pmatrix}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )\\\sin(\vartheta )\cos(\varphi )\\\cos(\vartheta )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}L_{1}\\L_{2}\\L_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\Theta _{1}\omega _{1}\\\Theta _{2}\omega _{2}\\\Theta _{3}\omega _{3}\end{pmatrix}}\\\rightarrow \cos(\vartheta )=&{\frac {L_{3}}{L}}={\frac {\Theta _{3}\omega _{3}}{L}}\;,\quad \tan(\varphi )={\frac {L_{1}}{L_{2}}}={\frac {\Theta _{1}\omega _{1}}{\Theta _{2}\omega _{2}}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Winkel ψ bestimmt sich mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{1}^{2}+L_{2}^{2}=\Theta _{1}^{2}\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}^{2}\omega _{2}^{2}=L^{2}\sin ^{2}(\vartheta )}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{1}^{2}+L_{2}^{2}=\Theta _{1}^{2}\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}^{2}\omega _{2}^{2}=L^{2}\sin ^{2}(\vartheta )}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9734e9189cf302664bdaff3bb6beff1303d07d17.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:37.994ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle L_{1}^{2}+L_{2}^{2}=\Theta _{1}^{2}\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}^{2}\omega _{2}^{2}=L^{2}\sin ^{2}(\vartheta )}" loading="lazy"> aus

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )+{\dot {\vartheta }}\cos(\varphi )\\{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )-{\dot {\vartheta }}\sin(\varphi )\\{\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}\end{pmatrix}}\\\rightarrow {\dot {\psi }}=&{\frac {\omega _{1}\sin(\varphi )+\omega _{2}\cos(\varphi )}{\sin(\vartheta )}}=L{\frac {\omega _{1}\overbrace {L\sin(\vartheta )\sin(\varphi )} ^{L_{1}=\Theta _{1}\omega _{1}}+\omega _{2}\overbrace {L\sin(\vartheta )\cos(\varphi )} ^{L_{2}=\Theta _{2}\omega _{2}}}{L^{2}\sin ^{2}(\vartheta )}}\\=&L{\frac {\Theta _{1}\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}\omega _{2}^{2}}{\Theta _{1}^{2}\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}^{2}\omega _{2}^{2}}}=L{\frac {2E_{\text{rot}}-\Theta _{3}\omega _{3}^{2}}{L^{2}-\Theta _{3}^{2}\omega _{3}^{2}}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aafe3d12af26cdb48a2ed87e092c4e6c8eae85d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -13.505ex; width:72.621ex; height:28.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )+{\dot {\vartheta }}\cos(\varphi )\\{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )-{\dot {\vartheta }}\sin(\varphi )\\{\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}\end{pmatrix}}\\\rightarrow {\dot {\psi }}=&{\frac {\omega _{1}\sin(\varphi )+\omega _{2}\cos(\varphi )}{\sin(\vartheta )}}=L{\frac {\omega _{1}\overbrace {L\sin(\vartheta )\sin(\varphi )} ^{L_{1}=\Theta _{1}\omega _{1}}+\omega _{2}\overbrace {L\sin(\vartheta )\cos(\varphi )} ^{L_{2}=\Theta _{2}\omega _{2}}}{L^{2}\sin ^{2}(\vartheta )}}\\=&L{\frac {\Theta _{1}\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}\omega _{2}^{2}}{\Theta _{1}^{2}\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}^{2}\omega _{2}^{2}}}=L{\frac {2E_{\text{rot}}-\Theta _{3}\omega _{3}^{2}}{L^{2}-\Theta _{3}^{2}\omega _{3}^{2}}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bewegung_auf_der_Separatrix">Bewegung auf der Separatrix</h3></div>

Auf der Separatrix ist 2Θ2 Erot = L² und die Bewegung aperiodisch, weil die Winkelgeschwindigkeit keinen Zustand ein zweites Mal einnimmt. Die Bewegung des Kreisels ist hier dadurch gekennzeichnet, dass die von der 2-Achse und dem Drehimpuls aufgespannte Ebene mit konstanter Winkelgeschwindigkeit L/Θ2 um die Drehimpulsachse kreist und der Endpunkt der 2-Achse sich auf einer <a href="Loxodrome" title="Loxodrome">Loxodrome</a> mit dem Richtungswinkel

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \cos \eta ={\sqrt {\frac {(\Theta _{1}-\Theta _{2})(\Theta _{2}-\Theta _{3})}{\Theta _{2}(\Theta _{1}+\Theta _{3}-\Theta _{2})}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/30cdc73d4e2412e4f02f57907d8bac913712d157.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:31.675ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \cos \eta ={\sqrt {\frac {(\Theta _{1}-\Theta _{2})(\Theta _{2}-\Theta _{3})}{\Theta _{2}(\Theta _{1}+\Theta _{3}-\Theta _{2})}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

der durch den Drehimpuls definierten Achse nähert, siehe Abb. 9.

Die Formeln des voran gegangenen Abschnitts sind hier zwar gültig, aber weil der elliptische Modul den Extremwert

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k={\sqrt {{\frac {\Theta _{1}-\Theta _{2}}{\Theta _{2}-\Theta _{3}}}\,{\frac {L^{2}-2\Theta _{3}E_{\text{rot}}}{2\Theta _{1}E_{\text{rot}}-L^{2}}}}}={\sqrt {{\frac {\Theta _{1}-\Theta _{2}}{\Theta _{2}-\Theta _{3}}}\,{\frac {2\Theta _{2}E_{\text{rot}}-2\Theta _{3}E_{\rm {rot}}}{2\Theta _{1}E_{\rm {rot}}-2\Theta _{2}E_{\text{rot}}}}}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37629cf05c8040bafe2a92f6a4dd6576fe6d6c39.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:70.119ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle k={\sqrt {{\frac {\Theta _{1}-\Theta _{2}}{\Theta _{2}-\Theta _{3}}}\,{\frac {L^{2}-2\Theta _{3}E_{\text{rot}}}{2\Theta _{1}E_{\text{rot}}-L^{2}}}}}={\sqrt {{\frac {\Theta _{1}-\Theta _{2}}{\Theta _{2}-\Theta _{3}}}\,{\frac {2\Theta _{2}E_{\text{rot}}-2\Theta _{3}E_{\rm {rot}}}{2\Theta _{1}E_{\rm {rot}}-2\Theta _{2}E_{\text{rot}}}}}}=1}" loading="lazy"></dd></dl>

annimmt, gehen die elliptischen Funktionen in die aperiodischen <a href="Hyperbelfunktion" title="Hyperbelfunktion">Hyperbelfunktionen</a> über:

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</mstyle>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/075e8c1f5342fadf8e8cfd163dad9d7da6e6ebf6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:29.432ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {cn} (z;1)=\operatorname {dn} (z;1)={\frac {1}{\cosh(z)}}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {sn} (z;1)=\tanh(z)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {sn} (z;1)=\tanh(z)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e4739e908311c684e004fe627f4f440cc80be5cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.951ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {sn} (z;1)=\tanh(z)}" loading="lazy"></dd></dl>

Das Argument z und die Winkelgeschwindigkeiten des voran gegangenen Abschnitts spezialisieren sich damit zu:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}z=&{\sqrt {\frac {(\Theta _{2}-\Theta _{3})(2\Theta _{1}E_{\text{rot}}-L^{2})}{\Theta _{1}\Theta _{2}\Theta _{3}}}}(t-t_{0})\\=&{\sqrt {\frac {(\Theta _{1}-\Theta _{2})(\Theta _{2}-\Theta _{3})}{\Theta _{1}\Theta _{3}}}}{\frac {L}{\Theta _{2}}}(t-t_{0})\\\omega _{1}=&{\sqrt {\frac {L^{2}-2\Theta _{3}E_{\text{rot}}}{\Theta _{1}(\Theta _{1}-\Theta _{3})}}}\operatorname {cn} (z;k)={\sqrt {\frac {\Theta _{2}(\Theta _{2}-\Theta _{3})}{\Theta _{1}(\Theta _{1}-\Theta _{3})}}}{\frac {L}{\Theta _{2}\cosh(z)}}\\\omega _{2}=&{\sqrt {\frac {L^{2}-2\Theta _{3}E_{\text{rot}}}{\Theta _{2}(\Theta _{2}-\Theta _{3})}}}\operatorname {sn} (z;k)={\frac {L}{\Theta _{2}}}\tanh(z)\\\omega _{3}=&{\sqrt {\frac {2\Theta _{1}E_{\text{rot}}-L^{2}}{\Theta _{3}(\Theta _{1}-\Theta _{3})}}}\operatorname {dn} (z;k)={\sqrt {\frac {\Theta _{2}(\Theta _{1}-\Theta _{2})}{\Theta _{3}(\Theta _{1}-\Theta _{3})}}}{\frac {L}{\Theta _{2}\cosh(z)}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cbc6d8902c048aad3797aa3c70ae1943e92fbd3a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -18.685ex; margin-bottom: -0.32ex; width:61.417ex; height:39.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}z=&{\sqrt {\frac {(\Theta _{2}-\Theta _{3})(2\Theta _{1}E_{\text{rot}}-L^{2})}{\Theta _{1}\Theta _{2}\Theta _{3}}}}(t-t_{0})\\=&{\sqrt {\frac {(\Theta _{1}-\Theta _{2})(\Theta _{2}-\Theta _{3})}{\Theta _{1}\Theta _{3}}}}{\frac {L}{\Theta _{2}}}(t-t_{0})\\\omega _{1}=&{\sqrt {\frac {L^{2}-2\Theta _{3}E_{\text{rot}}}{\Theta _{1}(\Theta _{1}-\Theta _{3})}}}\operatorname {cn} (z;k)={\sqrt {\frac {\Theta _{2}(\Theta _{2}-\Theta _{3})}{\Theta _{1}(\Theta _{1}-\Theta _{3})}}}{\frac {L}{\Theta _{2}\cosh(z)}}\\\omega _{2}=&{\sqrt {\frac {L^{2}-2\Theta _{3}E_{\text{rot}}}{\Theta _{2}(\Theta _{2}-\Theta _{3})}}}\operatorname {sn} (z;k)={\frac {L}{\Theta _{2}}}\tanh(z)\\\omega _{3}=&{\sqrt {\frac {2\Theta _{1}E_{\text{rot}}-L^{2}}{\Theta _{3}(\Theta _{1}-\Theta _{3})}}}\operatorname {dn} (z;k)={\sqrt {\frac {\Theta _{2}(\Theta _{1}-\Theta _{2})}{\Theta _{3}(\Theta _{1}-\Theta _{3})}}}{\frac {L}{\Theta _{2}\cosh(z)}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Mit fortschreitender Zeit gehen ω1 und ω3 gegen null und ω2 gegen L/Θ2. Die Bewegung kommt einer Drehung um die 2-Achse beliebig nah ohne diesen Zustand jemals zu erreichen. In der Realität wird diese Bewegungsform kaum auftreten, denn bei der kleinsten Abweichung vom Idealfall 2Θ2 Erot = L² ist k ≠ 1 und die Winkelgeschwindigkeiten werden zu den periodischen des voran gegangenen Abschnitts. Die Bewegung auf der Separatrix ist instabil. Eine Bewegung nahe der Separatrix zeigt der <a href="Dschanibekow-Effekt" title="Dschanibekow-Effekt">Dschanibekow-Effekt</a>.

Für die Berechnung der Bewegung wird, anders als im vorigen Abschnitt, der Ansatz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {h}}_{1,2,3}={\hat {e}}_{Y,Z,X}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {h}}_{1,2,3}={\hat {e}}_{Y,Z,X}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d9d366ed20e0d1f5605828b068a901a54a110911.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.331ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {h}}_{1,2,3}={\hat {e}}_{Y,Z,X}}" loading="lazy"> für das lokale Basissystem benutzt, siehe Abb. 10 und vgl. Abb. 2.

Die eulerschen Winkel – siehe <a href="#Bewegungsfunktion_des_symmetrischen_Kreisels">#Bewegungsfunktion des symmetrischen Kreisels</a> – ergeben sich bei einem Drehimpuls in z-Richtung und einem Start mit ω2 = 0 zu

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\psi }}=&{\frac {L}{\Theta _{2}}}\\\cos(\vartheta )=&\tanh(z)\\\tan(\varphi )=&{\sqrt {\frac {\Theta _{3}(\Theta _{1}-\Theta _{2})}{\Theta _{1}(\Theta _{2}-\Theta _{3})}}}\,.\end{aligned}}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b373550428de0ff91777ee07d0001cc54c2138bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.671ex; width:27.324ex; height:16.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\psi }}=&{\frac {L}{\Theta _{2}}}\\\cos(\vartheta )=&\tanh(z)\\\tan(\varphi )=&{\sqrt {\frac {\Theta _{3}(\Theta _{1}-\Theta _{2})}{\Theta _{1}(\Theta _{2}-\Theta _{3})}}}\,.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die von der 2-Achse und dem Drehimpuls aufgespannte Ebene kreist mit konstanter Winkelgeschwindigkeit L/Θ2 um die Drehimpulsachse und der Winkel ϑ geht mit fortschreitender Zeit gegen null.

<td>Beweis

</td></tr>

<tr>

<td>Im Basissystem

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {h}}_{1}=&{\hat {e}}_{Y}={\hat {e}}_{2}={\begin{pmatrix}-\cos(\psi )\sin(\varphi )-\sin(\psi )\cos(\vartheta )\cos(\varphi )\\-\sin(\psi )\sin(\varphi )+\cos(\psi )\cos(\vartheta )\cos(\varphi )\\\sin(\vartheta )\cos(\varphi )\end{pmatrix}}\\{\hat {h}}_{2}=&{\hat {e}}_{Z}={\hat {e}}_{3}={\begin{pmatrix}\sin(\psi )\sin(\vartheta )\\-\cos(\psi )\sin(\vartheta )\\\cos(\vartheta )\end{pmatrix}}\\{\hat {h}}_{3}=&{\hat {e}}_{X}={\hat {e}}_{1}={\begin{pmatrix}\cos(\psi )\cos(\varphi )-\sin(\psi )\cos(\vartheta )\sin(\varphi )\\\sin(\psi )\cos(\varphi )+\cos(\psi )\cos(\vartheta )\sin(\varphi )\\\sin(\vartheta )\sin(\varphi )\end{pmatrix}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47a8da0ced6cf607eb1d49b3035061a327d51915.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -14.171ex; width:59.465ex; height:29.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {h}}_{1}=&{\hat {e}}_{Y}={\hat {e}}_{2}={\begin{pmatrix}-\cos(\psi )\sin(\varphi )-\sin(\psi )\cos(\vartheta )\cos(\varphi )\\-\sin(\psi )\sin(\varphi )+\cos(\psi )\cos(\vartheta )\cos(\varphi )\\\sin(\vartheta )\cos(\varphi )\end{pmatrix}}\\{\hat {h}}_{2}=&{\hat {e}}_{Z}={\hat {e}}_{3}={\begin{pmatrix}\sin(\psi )\sin(\vartheta )\\-\cos(\psi )\sin(\vartheta )\\\cos(\vartheta )\end{pmatrix}}\\{\hat {h}}_{3}=&{\hat {e}}_{X}={\hat {e}}_{1}={\begin{pmatrix}\cos(\psi )\cos(\varphi )-\sin(\psi )\cos(\vartheta )\sin(\varphi )\\\sin(\psi )\cos(\varphi )+\cos(\psi )\cos(\vartheta )\sin(\varphi )\\\sin(\vartheta )\sin(\varphi )\end{pmatrix}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

ergibt sich:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {L}}=&L{\hat {e}}_{z}=L{\begin{pmatrix}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )\\\cos(\vartheta )\\\sin(\vartheta )\sin(\varphi )\end{pmatrix}}_{{\hat {h}}_{i}}={\begin{pmatrix}L_{1}\\L_{2}\\L_{3}\end{pmatrix}}_{{\hat {h}}_{i}}={\begin{pmatrix}\Theta _{1}\omega _{1}\\\Theta _{2}\omega _{2}\\\Theta _{3}\omega _{3}\end{pmatrix}}_{{\hat {h}}_{i}}\\\rightarrow \cos(\vartheta )=&{\frac {L_{2}}{L}}={\frac {\Theta _{2}\omega _{2}}{L}}={\frac {\Theta _{2}}{L}}{\frac {L}{\Theta _{2}}}\tanh(z)=\tanh(z)\\\tan(\varphi )=&{\frac {L_{3}}{L_{1}}}={\frac {\Theta _{3}}{\Theta _{1}}}{\frac {\omega _{3}}{\omega _{1}}}={\frac {\Theta _{3}}{\Theta _{1}}}{\frac {{\sqrt {\frac {\Theta _{1}-\Theta _{2}}{\Theta _{2}\Theta _{3}(\Theta _{1}-\Theta _{3})}}}{\frac {L}{\cosh(z)}}}{{\sqrt {\frac {\Theta _{2}-\Theta _{3}}{\Theta _{1}\Theta _{2}(\Theta _{1}-\Theta _{3})}}}{\frac {L}{\cosh(z)}}}}={\sqrt {\frac {\Theta _{3}(\Theta _{1}-\Theta _{2})}{\Theta _{1}(\Theta _{2}-\Theta _{3})}}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/28b19784cc852e77277b9a2c689ef08f89995af3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -14.171ex; width:73.36ex; height:29.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {L}}=&L{\hat {e}}_{z}=L{\begin{pmatrix}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )\\\cos(\vartheta )\\\sin(\vartheta )\sin(\varphi )\end{pmatrix}}_{{\hat {h}}_{i}}={\begin{pmatrix}L_{1}\\L_{2}\\L_{3}\end{pmatrix}}_{{\hat {h}}_{i}}={\begin{pmatrix}\Theta _{1}\omega _{1}\\\Theta _{2}\omega _{2}\\\Theta _{3}\omega _{3}\end{pmatrix}}_{{\hat {h}}_{i}}\\\rightarrow \cos(\vartheta )=&{\frac {L_{2}}{L}}={\frac {\Theta _{2}\omega _{2}}{L}}={\frac {\Theta _{2}}{L}}{\frac {L}{\Theta _{2}}}\tanh(z)=\tanh(z)\\\tan(\varphi )=&{\frac {L_{3}}{L_{1}}}={\frac {\Theta _{3}}{\Theta _{1}}}{\frac {\omega _{3}}{\omega _{1}}}={\frac {\Theta _{3}}{\Theta _{1}}}{\frac {{\sqrt {\frac {\Theta _{1}-\Theta _{2}}{\Theta _{2}\Theta _{3}(\Theta _{1}-\Theta _{3})}}}{\frac {L}{\cosh(z)}}}{{\sqrt {\frac {\Theta _{2}-\Theta _{3}}{\Theta _{1}\Theta _{2}(\Theta _{1}-\Theta _{3})}}}{\frac {L}{\cosh(z)}}}}={\sqrt {\frac {\Theta _{3}(\Theta _{1}-\Theta _{2})}{\Theta _{1}(\Theta _{2}-\Theta _{3})}}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit werden mit dem neuen Basissystem:

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&[{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )+{\dot {\vartheta }}\cos(\varphi )]{\hat {e}}_{1}+[{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )-{\dot {\vartheta }}\sin(\varphi )]{\hat {e}}_{2}\\&+[{\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}]{\hat {e}}_{3}\\=&[\underbrace {{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )+{\dot {\vartheta }}\cos(\varphi )} _{\omega _{3}}]{\hat {h}}_{3}+[\underbrace {{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )-{\dot {\vartheta }}\sin(\varphi )} _{\omega _{1}}]{\hat {h}}_{1}\\&+[\underbrace {{\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}} _{\omega _{2}}]{\hat {h}}_{2}\,.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/493f733ac182a1ec7489076cb4d5b2510554bdcf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -10.005ex; width:66.311ex; height:21.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&[{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )+{\dot {\vartheta }}\cos(\varphi )]{\hat {e}}_{1}+[{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )-{\dot {\vartheta }}\sin(\varphi )]{\hat {e}}_{2}\\&+[{\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}]{\hat {e}}_{3}\\=&[\underbrace {{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )+{\dot {\vartheta }}\cos(\varphi )} _{\omega _{3}}]{\hat {h}}_{3}+[\underbrace {{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )-{\dot {\vartheta }}\sin(\varphi )} _{\omega _{1}}]{\hat {h}}_{1}\\&+[\underbrace {{\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}} _{\omega _{2}}]{\hat {h}}_{2}\,.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Nun kann die Winkelgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\psi }}}">

<mover>

</mover>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\psi }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c6912355df049856322d8d4d631156fa10f3a37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.596ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\psi }}}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\varphi }}=0}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\varphi }}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79a390565ccd0dcfcc8b7e4c05160d7916140095.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.796ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\varphi }}=0}" loading="lazy"> aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega _{2}={\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}={\dot {\psi }}\cos(\vartheta )}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega _{2}={\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}={\dot {\psi }}\cos(\vartheta )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/949a76da90702605ee5f3385cdde6232660e16b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.626ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \omega _{2}={\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}={\dot {\psi }}\cos(\vartheta )}" loading="lazy"> bestimmt werden zu

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\psi }}={\frac {\omega _{2}}{\cos(\vartheta )}}={\frac {{\frac {L}{\Theta _{2}}}\tanh(z)}{\tanh(z)}}={\frac {L}{\Theta _{2}}}\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f92aa9001c0a20ffa899b23162e730e1225a1d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:34.473ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\psi }}={\frac {\omega _{2}}{\cos(\vartheta )}}={\frac {{\frac {L}{\Theta _{2}}}\tanh(z)}{\tanh(z)}}={\frac {L}{\Theta _{2}}}\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Achse um die der Winkel ϑ dreht ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {u}}_{\vartheta }=\cos(\varphi ){\hat {h}}_{3}-\sin(\varphi ){\hat {h}}_{1}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {u}}_{\vartheta }=\cos(\varphi ){\hat {h}}_{3}-\sin(\varphi ){\hat {h}}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04c17088ae306ee8db75d66065f00d3c3fc9443e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.884ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {u}}_{\vartheta }=\cos(\varphi ){\hat {h}}_{3}-\sin(\varphi ){\hat {h}}_{1}}" loading="lazy"> und der Meridian hat somit die Richtung

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {m}}={\hat {h}}_{2}\times {\hat {u}}_{\vartheta }=\cos(\varphi ){\hat {h}}_{1}+\sin(\varphi ){\hat {h}}_{3}\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/878119293fa85106c091ae7b1dc650bc5389df06.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:37.291ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\hat {m}}={\hat {h}}_{2}\times {\hat {u}}_{\vartheta }=\cos(\varphi ){\hat {h}}_{1}+\sin(\varphi ){\hat {h}}_{3}\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Rate der 2-Achse ist

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\hat {h}}}_{2}={\vec {\omega }}\times {\hat {h}}_{2}=\omega _{1}{\hat {h}}_{3}-\omega _{3}{\hat {h}}_{1}\,.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e832cb9efcfe8c15a1a63569fa906458c92caff8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:28.93ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\hat {h}}}_{2}={\vec {\omega }}\times {\hat {h}}_{2}=\omega _{1}{\hat {h}}_{3}-\omega _{3}{\hat {h}}_{1}\,.}" loading="lazy"></dd></dl>

Mit den obigen Zwischenergebnissen und den <a href="Formelsammlung_Trigonometrie#Gegenseitige_Darstellung" title="Formelsammlung Trigonometrie">trigonometrischen Formeln</a> berechnet sich der Richtungswinkel zwischen Meridian und der Rate des 2-Vektors zu der Konstanten

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \eta =&{\frac {{\dot {\hat {h}}}_{2}\cdot {\hat {m}}}{|{\dot {\hat {h}}}_{2}||{\hat {m}}|}}={\frac {\omega _{1}\sin(\varphi )-\omega _{3}\cos(\varphi )}{\sqrt {\omega _{1}^{2}+\omega _{3}^{2}}}}={\frac {\left[\tan(\varphi )-{\frac {\omega _{3}}{\omega _{1}}}\right]\cos(\varphi )}{\sqrt {1+{\frac {\omega _{3}^{2}}{\omega _{1}^{2}}}}}}\\=&{\frac {\tan(\varphi )-{\frac {\Theta _{1}}{\Theta _{3}}}\tan(\varphi )}{{\sqrt {1+{\frac {\Theta _{1}^{2}}{\Theta _{3}^{2}}}\tan ^{2}(\varphi )}}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\varphi )}}}}={\sqrt {\frac {(\Theta _{1}-\Theta _{2})(\Theta _{2}-\Theta _{3})}{\Theta _{2}(\Theta _{1}+\Theta _{3}-\Theta _{2})}}}\end{aligned}}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee3203b6af18926a46b6c4f2a217f2d902efd682.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -11.005ex; width:67.189ex; height:23.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \eta =&{\frac {{\dot {\hat {h}}}_{2}\cdot {\hat {m}}}{|{\dot {\hat {h}}}_{2}||{\hat {m}}|}}={\frac {\omega _{1}\sin(\varphi )-\omega _{3}\cos(\varphi )}{\sqrt {\omega _{1}^{2}+\omega _{3}^{2}}}}={\frac {\left[\tan(\varphi )-{\frac {\omega _{3}}{\omega _{1}}}\right]\cos(\varphi )}{\sqrt {1+{\frac {\omega _{3}^{2}}{\omega _{1}^{2}}}}}}\\=&{\frac {\tan(\varphi )-{\frac {\Theta _{1}}{\Theta _{3}}}\tan(\varphi )}{{\sqrt {1+{\frac {\Theta _{1}^{2}}{\Theta _{3}^{2}}}\tan ^{2}(\varphi )}}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\varphi )}}}}={\sqrt {\frac {(\Theta _{1}-\Theta _{2})(\Theta _{2}-\Theta _{3})}{\Theta _{2}(\Theta _{1}+\Theta _{3}-\Theta _{2})}}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Bruch in der Wurzel ist positiv und kleiner als eins:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<{\frac {(\Theta _{1}-\Theta _{2})(\Theta _{2}-\Theta _{3})}{\Theta _{2}(\Theta _{1}+\Theta _{3}-\Theta _{2})}}=1-{\frac {\Theta _{1}\Theta _{3}}{\Theta _{2}(\Theta _{1}+\Theta _{3}-\Theta _{2})}}<1}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1ed195cc9e27a29ad1485ba400ff9c880d556d5d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:56.984ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle 0<{\frac {(\Theta _{1}-\Theta _{2})(\Theta _{2}-\Theta _{3})}{\Theta _{2}(\Theta _{1}+\Theta _{3}-\Theta _{2})}}=1-{\frac {\Theta _{1}\Theta _{3}}{\Theta _{2}(\Theta _{1}+\Theta _{3}-\Theta _{2})}}<1}" loading="lazy"></dd></dl>

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kräftefreier_Kugelkreisel">Kräftefreier Kugelkreisel</h2></div>

<a href="Kugelkreisel" title="Kugelkreisel">Kugelkreisel</a> haben drei gleiche <a href="Haupttr%C3%A4gheitsmoment" class="mw-redirect" title="Hauptträgheitsmoment">Hauptträgheitsmomente</a>, womit sich die <a href="#Kreiselgleichungen">#Kreiselgleichungen</a> zu

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Theta _{1}{\dot {\omega }}_{1}=\Theta _{2}{\dot {\omega }}_{2}=\Theta _{3}{\dot {\omega }}_{3}={\dot {L}}_{1}={\dot {L}}_{2}={\dot {L}}_{3}=0}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da4881e71f9b8f2b7875fed6db42255c9e05d1e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:43.752ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \Theta _{1}{\dot {\omega }}_{1}=\Theta _{2}{\dot {\omega }}_{2}=\Theta _{3}{\dot {\omega }}_{3}={\dot {L}}_{1}={\dot {L}}_{2}={\dot {L}}_{3}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

vereinfachen. Beim kräftefreien Kugelkreisel sind Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls parallel, konstant und körperfest.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einfluss_der_Reibung">Einfluss der Reibung</h2></div>

Der kräfefreie Kreisel ist eine <a href="Idealisierung_(Physik)" title="Idealisierung (Physik)">Idealisierung</a>, die unter den Bedingungen auf der Erde nur näherungsweise zu realisieren ist. Zum einen treten in den Lagern, die den Kreisel gegen die <a href="Gewichtskraft" title="Gewichtskraft">Gewichtskraft</a> halten, unvermeidlich Reibmomente auf und ebenso führt die <a href="Haftbedingung" title="Haftbedingung">Haftbedingung</a> der Luft an festen Oberflächen zu abbremsender Wechselwirkung mit der Umgebungsluft.<a href="#cite_note-17">[17]</a>

Der Einfluss der Reibung in der <a href="Kardanische_Aufh%C3%A4ngung" title="Kardanische Aufhängung">kardanischen</a> Aufhängung, wie in <a href="#Eulerkreisel_3D_Gyroscope-no_text.png">Abb. 1</a>, macht sich beim symmetrischen Kreisel, je nachdem er gestreckt oder abgeplattet ist, unterschiedlich bemerkbar:

<ul><li>Beim gestreckten Kreisel nimmt der Neigungswinkel ϑ gegenüber dem Drehimpuls zu und die Figurenachse wird zu einer labilen Drehachse.</li>

<li>Beim abgeplatteten Kreisel nimmt der Neigungswinkel ϑ ab und die Figurenachse bleibt eine stabile Drehachse.</li></ul>

Beiden Kreiselformen ist gemeinsam, dass die Eigendrehgeschwindigkeit ω3 mit der Zeit abnimmt.

Die Luftreibung bremst ebenfalls die Eigendrehgeschwindigkeit und wirkt unterschiedlich auf gestreckte oder abgeplattete Kreisel:

<ul><li>Beim gestreckten Kreisel richtet sich die Drehachse zunehmend senkrecht zur Figurenachse aus, die auch hier eine instabile Drehachse wird.</li>

<li>Beim abgeplatteten Kreisel wandert die Drehgeschwindigkeit zur Figurenachse hin, die eine stabile Drehachse bleibt.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Tr%C3%A4gheitsellipsoid" title="Trägheitsellipsoid">Trägheitsellipsoid</a> informiert über Trägheits-, Energie- und Drallellipsoid</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Euler (1758), S. 173 und 190.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Leimanis (1965), S. 53 ff.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Magnus (1971), S. 100

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> Arnold (1989), S. 154

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Arnold (1989), S. 142, Magnus (1971), S. 53, Leimanis (1965), S. 10.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Arnold (1989), S. 151.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Leimanis (1965), S. 11.

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> Samuel Haughton: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">On the Rotation of a Solid Body Round a Fixed Point; Being an Account of the Late Professor Mac Cullagh's Lectures on That Subject</cite>. In: <a href="Royal_Irish_Academy" title="Royal Irish Academy">Royal Irish Academy</a> (Hrsg.): <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">The Transactions of the Royal Irish Academy</cite>. Vol. 22 (1849). Dublin university press, Dublin 1880, S. 139–154, <a href="JSTOR" title="JSTOR">JSTOR</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.jstor.org/stable/30079824">30079824</a> (englisch, Haughtons Mitschrift einer Vorlesung von 1844. Siehe auch Magnus (1971), S. 61ff.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Euler-Kreisel&rft.atitle=On+the+Rotation+of+a+Solid+Body+Round+a+Fixed+Point%3B+Being+an+Account+of+the+Late+Professor+Mac+Cullagh%27s+Lectures+on+That+Subject&rft.au=Samuel+Haughton&rft.btitle=The+Transactions+of+the+Royal+Irish+Academy&rft.date=1880&rft.genre=book&rft.pages=139-154&rft.place=Dublin&rft.pub=Dublin+university+press&rft.volume=Vol.+22+%281849%29" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-9"><a href="#cite_ref-9">↑</a> Magnus (1971), S. 82.

</li>

<li id="cite_note-praezession-10">↑ <a href="#cite_ref-praezession_10-0">a</a> <a href="#cite_ref-praezession_10-1">b</a> Grammel (1920), S. 40, Grammel (1950), S. 53.

</li>

<li id="cite_note-11"><a href="#cite_ref-11">↑</a> <a href="Louis_Poinsot" title="Louis Poinsot">Louis Poinsot</a>: Théorie nouvelle de la rotation des corps. Bachelier, Paris 1834/1851.

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Tennis_racket_theorem" class="extiw external" title="en:Tennis racket theorem">tennis racket theorem</a> in der englischsprachigen Wikipedia.

</li>

<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Mark S. Ashbaugh, Carmen C. Chicone, Richard H. Cushman: The twisting tennis racket. In: Journal of Dynamics and Differential Equations, 3, 1, 1991, S. 67–85.

</li>

<li id="cite_note-magnus64ff-14">↑ <a href="#cite_ref-magnus64ff_14-0">a</a> <a href="#cite_ref-magnus64ff_14-1">b</a> Magnus (1971), S. 64ff.

</li>

<li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> Leimanis (1965), S. 17.

</li>

<li id="cite_note-16"><a href="#cite_ref-16">↑</a> Leimanis (1965), S. 18.

</li>

<li id="cite_note-17"><a href="#cite_ref-17">↑</a> Grammel (1920), S. 82 ff., Grammel (1950), S. 107 ff.

</li>

</ol></div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a>: <cite class="lang" lang="fr" dir="auto" style="font-style:italic">Über die Bewegung der Rotation von starren Körpern um eine variable Achse</cite>. In: <a href="K%C3%B6niglich_Preu%C3%9Fische_Akademie_der_Wissenschaften_zu_Berlin" class="mw-redirect" title="Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften zu Berlin">Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften zu Berlin</a> (Hrsg.): <cite class="lang" lang="fr" dir="auto" style="font-style:italic">Mémoires de l’Académie des Sciences de Berlin</cite>. Band 14. Petersburg 1758, S. 173 und 190. (französisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/euler-e292">archive.org</a> [abgerufen am 11. Januar 2020] Originaltitel: <cite style="font-style:italic">Du mouvement de rotation des corps solides autour d'un axe variable</cite>.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Euler-Kreisel&rft.atitle=%C3%9Cber+die+Bewegung+der+Rotation+von+starren+K%C3%B6rpern+um+eine+variable+Achse&rft.au=Leonhard+Euler&rft.btitle=M%C3%A9moires+de+l%E2%80%99Acad%C3%A9mie+des+Sciences+de+Berlin&rft.date=1758&rft.genre=book&rft.pages=173+und+190.&rft.place=Petersburg&rft.volume=14" style="display:none"> </li>

<li>Herbert Goldstein, Charles P. Poole, Jr, John L. Safko: <cite style="font-style:italic">Klassische Mechanik</cite>. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Euler-Kreisel&rft.au=Herbert+Goldstein%2C+Charles+P.+Poole%2C+Jr%2C+...&rft.btitle=Klassische+Mechanik&rft.date=2006&rft.edition=3.&rft.genre=book&rft.isbn=3527405895&rft.place=Weinheim&rft.pub=Wiley-VCH" style="display:none"> </li>

<li><a href="Richard_Grammel" title="Richard Grammel">R. Grammel</a>: <cite style="font-style:italic">Der Kreisel</cite>. Seine Theorie und seine Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1920, <a href="Deutsche_Nationalbibliothek" title="Deutsche Nationalbibliothek">DNB</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://portal.dnb.de/opac.htm?referrer=Wikipedia&method=simpleSearch&cqlMode=true&query=idn%3D573533210">573533210</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/derkreiselseine00gramgoog">archive.org</a> – „Schwung“ bedeutet Drehimpuls, „<a href="Drehsto%C3%9F" title="Drehstoß">Drehstoß</a>“ etwa Drehmoment und „Drehwucht“ Rotationsenergie, siehe S. VII).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Euler-Kreisel&rft.au=R.+Grammel&rft.btitle=Der+Kreisel&rft.date=1920&rft.genre=book&rft.place=Braunschweig&rft.pub=Vieweg+Verlag" style="display:none">  oder <a href="Richard_Grammel" title="Richard Grammel">R. Grammel</a>: <cite style="font-style:italic">Der Kreisel</cite>. Theorie des Kreisels. 2. überarb. Auflage. Band 1. Springer, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1950, <a href="Deutsche_Nationalbibliothek" title="Deutsche Nationalbibliothek">DNB</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://portal.dnb.de/opac.htm?referrer=Wikipedia&method=simpleSearch&cqlMode=true&query=idn%3D451641299">451641299</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Euler-Kreisel&rft.au=R.+Grammel&rft.btitle=Der+Kreisel&rft.date=1950&rft.edition=2.+%C3%BCberarb.+Aufl.&rft.genre=book&rft.place=Berlin%2C+G%C3%B6ttingen%2C+Heidelberg&rft.pub=Springer&rft.volume=Band+1" style="display:none"> </li>

<li>V. I. Arnold: <cite style="font-style:italic">Mathematical Methods of Classical Mechanics</cite>. 2. Auflage. Springer, New-York / Berlin / Heidelberg / London / Paris / Tokyo 1989, ISBN 3-540-96890-3.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Euler-Kreisel&rft.au=V.+I.+Arnold&rft.btitle=Mathematical+Methods+of+Classical+Mechanics&rft.date=1989&rft.edition=2.&rft.genre=book&rft.isbn=3540968903&rft.place=New-York+%2F+Berlin+%2F+Heidelberg+%2F+London+%2F+Paris+%2F+Tokyo&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li>K. Magnus: <cite style="font-style:italic">Kreisel</cite>. Theorie und Anwendungen. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1971, ISBN 978-3-642-52163-8 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=tATNBgAAQBAJ&pg=PAvii#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche [abgerufen am 5. Januar 2020]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Euler-Kreisel&rft.au=K.+Magnus&rft.btitle=Kreisel&rft.date=1971&rft.genre=book&rft.isbn=9783642521638&rft.place=Berlin+%2F+Heidelberg+%2F+New+York&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li>Eugene Leimanis: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">The General Problem of the Motion of Coupled Rigid Bodies about a Fixed Point</cite>. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 1965, ISBN 978-3-642-88414-6, S. 10 ff., <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-88412-2">10.1007/978-3-642-88412-2</a> (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=s8rsCAAAQBAJ&pg=PA10#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche [abgerufen am 30. November 2019]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Euler-Kreisel&rft.au=Eugene+Leimanis&rft.btitle=The+General+Problem+of+the+Motion+of+Coupled+Rigid+Bodies+about+a+Fixed+Point&rft.date=1965&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-88412-2&rft.genre=book&rft.isbn=9783642884146&rft.pages=10+ff.&rft.place=Berlin%2C+Heidelberg&rft.pub=Springer+Verlag" style="display:none"> </li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.ialms.net/sim/">Interaktive Animationen von Kreisel- und Pendelbewegungen</a> (englisch).</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://av.tib.eu/media/12496">Freie Rotation eines quaderförmigen Körpers</a> vom TIB AV-Portal der <a href="Technische_Informationsbibliothek" class="mw-redirect" title="Technische Informationsbibliothek">Technischen Informationsbibliothek</a>.</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-07-19" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Euler-Kreisel&oldid=258064193">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

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</body></html>